长度为1向量OA,OB,夹角120度,点C在圆心O的圆弧AB上变动,向量OC=XOA+YOB,X,Y属于R,求x^2+y^2+xy最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 21:45:42
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长度为1向量OA,OB,夹角120度,点C在圆心O的圆弧AB上变动,向量OC=XOA+YOB,X,Y属于R,求x^2+y^2+xy最大值
长度为1向量OA,OB,夹角120度,点C在圆心O的圆弧AB上变动,向量OC=XOA+YOB,X,Y属于R,求x^2+y^2+xy最大值
长度为1向量OA,OB,夹角120度,点C在圆心O的圆弧AB上变动,向量OC=XOA+YOB,X,Y属于R,求x^2+y^2+xy最大值向量OC=x*OA+y*OB,设向量OC与OA的夹角为θ(0°≤θ≤120°);
x/sin(180°-60°-θ)=1/sin60°,x=sin(120°-θ)/sin60°;y/sinθ=1/sin60°,y=sinθ/sin60°;
∴ x²+y²+xy=sin²(120°-θ)/sin²60°+sin²θ/sin²60°+sin(120°-θ)*sinθ/sin²60°
=[sin²(120°-θ)+sin²θ+sin(120°-θ)sinθ]/sin²60°
=[1-(1/2)*cos(240°-2θ)+(cos2θ)/2 +cos(120°-2θ)-cos120°]/sin²60°
=(1/2)*[3-cos(120°+2θ)+cos2θ+2cos(120°-2θ)]/(√3/2)²
=(2/3)*[3-cos120°cos2θ+sin120°sin2θ+cos2θ+2cos120°cos2θ+2sin120°sin2θ]
=(2/3)*[3+(1/2)cos2θ+(3√3/2)sin2θ]
=2+(1/3)*[cos2θ+3√3sin2θ]
=2+(2√7/3)*[(1/2√7)*cos2θ+(3√3/2√7)sin2θ]=2+(2√7/3)*sin(2θ+η);0<η<90°;
∴ x²+y²+xy≤2+(2√7/3);