高中数列证明题一道,讨论简易证法设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 05:02:05
![高中数列证明题一道,讨论简易证法设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.](/uploads/image/z/693572-68-2.jpg?t=%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%88%97%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%E4%B8%80%E9%81%93%2C%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E7%AE%80%E6%98%93%E8%AF%81%E6%B3%95%E8%AE%BE%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9BAn%EF%BD%9DA1%3D2%2CA%28n%2B1%29%EF%BC%9DAn%2B%EF%BC%881%2FAn%EF%BC%89+%EF%BC%88n%3D1%2C2%2C3%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6%EF%BC%89+%E8%AF%81%E6%98%8EAn%3E%E6%A0%B9%E5%8F%B7%E4%B8%8B%EF%BC%882n%2B1%EF%BC%89%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E4%BD%95%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%E6%88%90%E7%AB%8B.)
高中数列证明题一道,讨论简易证法设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.
高中数列证明题一道,讨论简易证法
设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.
高中数列证明题一道,讨论简易证法设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.
这道题实际上前面已经有人问过,不过,的确看着有点乱
数学归纳法:
n=1时,A1=2=√4>√(2*1+1)=√3,显然成立
假设,n=k时,Ak>√(2k+1)成立
则,n=k+1时,因为A(k+1)=Ak+1/Ak
所以,A(k+1)^2=Ak^2+2+1/Ak>2+Ak^2>2+2k+1=2(k+1)+1
即:A(k+1)>√(2k+1)+1成立
所以,数列{An},A1=2,A(n+1)=An+1/(An)
对于任意正整数n,存在An>√(2n+1)成立
数学归纳法:
n=1时,A1=2=√4>(2*1+1)^(1/2)=√3,
假设,An>(2n+1)^(1/2)成立
证明 An+1 > (2(n+1)+1)^(1/2)
A(n+1)^2=An^2+2+1/An>2+An^2 (An 正整数)
>2+2n+1=2(n+1)+1
A(n+1)>(2(n+1)+1)^(1/2)成立