在平面直角坐标系xOy中,直线上l:ax+by+c=0与圆x^2+y^2=4交于A,B两点.求:(1)证明:如果a^2+b^2=c^2,那么向量OA*向量OB=-2.(2)写出(1)中的命题的逆命题,证明它是真命题.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 18:38:55
![在平面直角坐标系xOy中,直线上l:ax+by+c=0与圆x^2+y^2=4交于A,B两点.求:(1)证明:如果a^2+b^2=c^2,那么向量OA*向量OB=-2.(2)写出(1)中的命题的逆命题,证明它是真命题.](/uploads/image/z/6072826-58-6.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BBxOy%E4%B8%AD%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%B8%8Al%3Aax%2Bby%2Bc%3D0%E4%B8%8E%E5%9C%86x%5E2%2By%5E2%3D4%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9.%E6%B1%82%EF%BC%9A%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E5%A6%82%E6%9E%9Ca%5E2%2Bb%5E2%3Dc%5E2%2C%E9%82%A3%E4%B9%88%E5%90%91%E9%87%8FOA%2A%E5%90%91%E9%87%8FOB%3D-2.%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%86%99%E5%87%BA%EF%BC%881%EF%BC%89%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%91%BD%E9%A2%98%E7%9A%84%E9%80%86%E5%91%BD%E9%A2%98%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%AE%83%E6%98%AF%E7%9C%9F%E5%91%BD%E9%A2%98.)
在平面直角坐标系xOy中,直线上l:ax+by+c=0与圆x^2+y^2=4交于A,B两点.求:(1)证明:如果a^2+b^2=c^2,那么向量OA*向量OB=-2.(2)写出(1)中的命题的逆命题,证明它是真命题.
在平面直角坐标系xOy中,直线上l:ax+by+c=0与圆x^2+y^2=4交于A,B两点.
求:
(1)证明:如果a^2+b^2=c^2,那么向量OA*向量OB=-2.
(2)写出(1)中的命题的逆命题,证明它是真命题.
在平面直角坐标系xOy中,直线上l:ax+by+c=0与圆x^2+y^2=4交于A,B两点.求:(1)证明:如果a^2+b^2=c^2,那么向量OA*向量OB=-2.(2)写出(1)中的命题的逆命题,证明它是真命题.
(1)“向量OA*向量OB=-2”等价于“向量OA的模长*向量OB的模长*向量OA与向量OB的夹角的余弦函数值=-2”
设θ为向量OA与向量OB的夹角,a,b分别为向量OA的模长,向量OB的模长.
则a=b=2(等于圆的半径).
若a^2+b^2=c^2,即c/[(a^2+b^2)^(1/2)]=1,即圆心O到直线l的距离为1.
即2*sin(90°-θ/2)=1;所以θ=120°,cosθ=-1/2
a*b*cosθ=2*2*(-1/2)=-2
证毕
(2)逆命题:如果向量OA*向量OB=-2,那么a^2+b^2=c^2.
若a*b*cosθ=-2,则cosθ=-0.5,θ=120°,即圆心O到直线l的距离为2*sin(30°)=1;根据点到直线距离公式,知圆心O到直线l的距离为c/[(a^2+b^2)^(1/2)]=1,即a^2+b^2=c^2.
证毕
uooip'[oik;mvfdryyhhb