利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 15:42:08
![利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,](/uploads/image/z/9939424-40-4.jpg?t=%E5%88%A9%E7%94%A8%E9%AB%98%E6%96%AF%E5%85%AC%E5%BC%8F%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%88%86%E2%88%AB%E2%88%ABxdydz%2Bz%5E2dxdy%2F%28x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%29%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E2%88%91%E6%98%AF%E7%94%B1x%5E2%2By%5E2%3DR%5E2%E5%8F%8Az%3DR%2Cz%3D-R%E6%89%80%E5%9B%B4%E6%88%90%E2%88%91%E5%8F%96%E8%A1%A8%E9%9D%A2%E5%A4%96%E4%BE%A7%2C%E7%AD%94%E6%A1%88%E6%98%AFR%CF%80%5E2%2F2%E6%88%91%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E5%88%A9%E7%94%A8%E9%AB%98%E6%96%AF%E5%85%AC%E5%BC%8F%E5%BE%97%E5%8E%9F%E5%BC%8F%3D%E2%88%AB%E2%88%AB%E2%88%ABz%5E2%2By%5E2-x%5E2%2B2z%28x%5E2%2By%5E2%29%2F%28x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%29%5E2dxdydz%2C)
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成
∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2
我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,这样下去直接积或者坐标代换了之后都很难积啊
求教这个该怎么做好啊,
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,
使用高斯公式后,化简后被积函数跟积分区域的圆柱体挺难构造关系,就按投影一步一步算吧.
∑被积区域可以看成3个平面围成,S1:z=R,S2:z=-R,S3:x^2+y^2=R^2.
可以看出S1,S2只在xoy平面内有投影,S3只在yoz平面有投影,所以积分dxdy部分只需考虑S1(令其对应积分值为I1),S2(令其对应积分值为I2),积分dydz只需考虑S3(令其对应积分值为I3).
I=I1+I2+I3
I1=(S1)∑∫∫z^2/(x^2+y^2+z^2)dxdy
I2=(S2)∑∫∫z^2/(x^2+y^2+z^2)dxdy
I3=(S3)∑∫∫z/(x^2+y^2+z^2)dydz
将S1,S2对应曲面方程z=R,z=-R代入I1,I2中(Dxy表示曲面在xoy投影,Dyz表示曲面在yoz投影).
I1=(Dxy)∫∫R^2/(z^2+y^2+R^2)dxdy
由于曲面是外侧,S2法相向量与坐标系方向夹角是钝角,曲面带入时积分值应加一个负号.
则I2=-(Dxy)∫∫(-R)^2/(z^2+y^2+(-R)^2)dxdy
=-(Dxy)∫∫R^2/(z^2+y^2+R^2)dxdy
=-I1
则I1+I2=0
I=I3,计算I3值即可,即∑为S3:x^2+y^2=R^2,所求积分I3=(S3)∑∫∫x/(x^2+y^2+z^2)dydz.
由于∑关于yoz平面对称,被积函数关于x为奇函数,
所以,将S3对应曲面方程x^2+y^2=R^2代入I3时,
得I3=2(Dyz)∫∫(R^2-y^2)^0.5/(R^2+z^2)dydz
画图可看出,曲面在yoz平面投影(Dyz)是个半径为r的正方形,y、z取值范围:-R