三角形ABC的三边a,b,c和面积满足S=c^2-(a-b)^2,且a+b=2,求面积S的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 22:29:00
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三角形ABC的三边a,b,c和面积满足S=c^2-(a-b)^2,且a+b=2,求面积S的最大值
三角形ABC的三边a,b,c和面积满足S=c^2-(a-b)^2,且a+b=2,求面积S的最大值
三角形ABC的三边a,b,c和面积满足S=c^2-(a-b)^2,且a+b=2,求面积S的最大值
S=(absinC)/2
c²-(a-b)²=c²-a²-b²+2ab=(absinC)/2
-2abcosC+2ab=(absinC)/2
∴ sinC=4(1-cosC),
∴ sin²C=16(1-cosC)²
∴ 1-cos²C=16-32cosC+16cos²C
17cos²C-32cosC+15=0
∴ (cosC-1)(17cosC-15)=0
∴cosC=15/17 (cosC=1时,C=0,舍)
∴ sinC=8/17
又∵ 2=a+b≥2√ab
∴ ab的最大值为1,当且仅当a=b=1时等号成立
S=(absinC)/2
∴ S的最大值为(1/2)sinC=4/17
S=c²-(a-b)²
=c²-(a²+b²)+2ab
根据面积公式S=1/2ab*sinC
根据余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/2ab
∴1/2absinC=2ab-2ab*cosC
∴sinC+4cosC=4
又sin²C+cos²C=1<...
全部展开
S=c²-(a-b)²
=c²-(a²+b²)+2ab
根据面积公式S=1/2ab*sinC
根据余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/2ab
∴1/2absinC=2ab-2ab*cosC
∴sinC+4cosC=4
又sin²C+cos²C=1
解得cosC=1(舍去)或cosC=15/17
∴S=2ab(1-cosC)
=4/17*ab
∵ab≤(a+b)²/4=1
∴S≤4/17.
∴面积S的最大值 为4/17.
收起
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