求x→1时lim(2-x)^tan(πx)/2的极限(能不能不用若必达法则),
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 00:32:48
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求x→1时lim(2-x)^tan(πx)/2的极限(能不能不用若必达法则),
求x→1时lim(2-x)^tan(πx)/2的极限(能不能不用若必达法则),
求x→1时lim(2-x)^tan(πx)/2的极限(能不能不用若必达法则),
y=(2-x)^tan(πx/2)=[(1+1-x)^(1/(1-x))]^[tan(πx/2)*(1-x)
x→1时,底数[1+1-x)^(1/(1-x))]趋于e
指数:
limtan(πx/2)*(1-x)=limsin(πx/2)(1-x)/(cos(πx/2)
=lim(1-x)/(cos(πx/2)=lim(1-x)/(π/2)(1-x)=2/π
先说明(1):x→1时lim(1-x)/sin[π/2(1-x)]=lim[π/2(1-x)]/π/2sin[π/2(1-x)]=2/π
重要极限公式x→0时limsinx/x=1所得,
(2)tan(πx)/2=[sin(πx)/2]/[cos(πx)/2]=[sin(πx)/2]/sin[π/2-(πx)/2]
=[sin(πx)/2]/sin[π/2(1-x)...
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先说明(1):x→1时lim(1-x)/sin[π/2(1-x)]=lim[π/2(1-x)]/π/2sin[π/2(1-x)]=2/π
重要极限公式x→0时limsinx/x=1所得,
(2)tan(πx)/2=[sin(πx)/2]/[cos(πx)/2]=[sin(πx)/2]/sin[π/2-(πx)/2]
=[sin(πx)/2]/sin[π/2(1-x)]
所以x→1时lim(1-x)/tan(πx)/2=lim(1-x)[sin(πx)/2]/sin[π/2(1-(x)]
=[limsin(πx)/2]×lim(1-x)/sin[π/2(1-x)]=sin(π/2)×2/π=2/π
所以x→1时lim(2-x)^tan(πx)/2=lim(1+1-x)^[(1-x)/(1-x)]tan(πx)/2
=lim(1+1-x)^/1/(1-x)×(1-x)tan(πx)/2=e^2/π
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