线性代数的特征根和特征向量的问题若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数能不能大于k?为什么?说漏了,是线性无关的特征向量的个数。不超过k是为什么?为什么a是k重特征根的话,R(A-aE)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 19:37:22
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线性代数的特征根和特征向量的问题若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数能不能大于k?为什么?说漏了,是线性无关的特征向量的个数。不超过k是为什么?为什么a是k重特征根的话,R(A-aE)
线性代数的特征根和特征向量的问题
若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数能不能大于k?为什么?
说漏了,是线性无关的特征向量的个数。
不超过k是为什么?
为什么a是k重特征根的话,R(A-aE)就大于等于n-k?
线性代数的特征根和特征向量的问题若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数能不能大于k?为什么?说漏了,是线性无关的特征向量的个数。不超过k是为什么?为什么a是k重特征根的话,R(A-aE)
1、若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数能不能大于k?为什么?
不能.
证明:假设a是A的k重特征值,但它对应的线性无关的特征向量有k+1个,则(aE-A)x=0的基础解系有k+1个线性无关的解向量,即(aE-A)X1+(aE-A)X2+...+(aE-A)Xk+(aE-A)Xk+1=0,所以A有k+1个特征值是a,即a是A的k+1重特征值,与假设矛盾,所以若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数不能大于k.
2、为什么a是k重特征根的话,R(A-aE)就大于等于n-k?
证明:由上题结论可知,a是k重特征根的话,它对应的线性无关的特征向量小于等于k个,则(aE-A)x=0的基础解系的向量个数小于等于k,即n-R(A-aE)
若a是A的k重特征根,知道Rank(A-a)大于等于n-k,
所以方程(A-a)x=0的解系等于n-Rank(A-a)小于等于k
k重根最多对应k个特征向量,根据特征向量的求法,是先求出特征根a,再用它构造齐次线性方程组(aI-A)x=0,它的非零解就是特征向量,因为aI-A的秩大于等于n-k,所以方程(aI-A)x=0的基础解系等于n减aI-A的秩,小于等于k 。
不能,k重根最多对应k个特征向量