空间几何证明 点P是平面ABC外一点 且AP垂直于面ABC若 O Q 分别为三角形ABC与三角形PBC垂心求证OQ垂直于平面PCB
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 03:44:19
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空间几何证明 点P是平面ABC外一点 且AP垂直于面ABC若 O Q 分别为三角形ABC与三角形PBC垂心求证OQ垂直于平面PCB
空间几何证明
点P是平面ABC外一点 且AP垂直于面ABC若 O Q 分别为三角形ABC与三角形PBC垂心求证OQ垂直于平面PCB
空间几何证明 点P是平面ABC外一点 且AP垂直于面ABC若 O Q 分别为三角形ABC与三角形PBC垂心求证OQ垂直于平面PCB
设PQ垂直BC于H,那么AO垂直BC于H,并且BC垂直于平面PAH,所以OQ垂直于BC.
下面证OQ垂直于PH.容易发现三角形AHB和三角形CHO相似,于是HO HA=HB HC.类似,HQ HP=HB HC.所以三角形HOQ与三角形HPA相似,所以OQ垂直于PH.
设AB=AC=AD=x
∵AB,AC,AD两两垂直
∴BC=BD=CD=√(x2+x2)=√2x
S△ABC=S△ACD=S△ABD=(1/2)x2
∴△BCD是等边三角形,∠BCD=60°
∴S△BCD=(1/2)BC×CDsin∠BCD=(1/2)×√2x×√2x×(√3/2)=√3x2/2
∵S△ABC2+S△ACD2+S△ABD2=(x2/...
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设AB=AC=AD=x
∵AB,AC,AD两两垂直
∴BC=BD=CD=√(x2+x2)=√2x
S△ABC=S△ACD=S△ABD=(1/2)x2
∴△BCD是等边三角形,∠BCD=60°
∴S△BCD=(1/2)BC×CDsin∠BCD=(1/2)×√2x×√2x×(√3/2)=√3x2/2
∵S△ABC2+S△ACD2+S△ABD2=(x2/2)2+(x2/2)2+(x2/2)2=3x^4/4, S△BCD2=(√3x2/2)2=3x^4/4
∴S△ABC2+S△ACD2+S△ABD2=S△BCD2
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