函数与方程的 运用难题.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(1)若a>b>c,且f(1)=0,试说明f(x)必有两个零点.(2)若对x₁、x₂∈R且x₁<x₂,f(x₁)≠f(x₂),方程f(x)=1/2[f(x₁)+f(x&
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 22:51:33
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函数与方程的 运用难题.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(1)若a>b>c,且f(1)=0,试说明f(x)必有两个零点.(2)若对x₁、x₂∈R且x₁<x₂,f(x₁)≠f(x₂),方程f(x)=1/2[f(x₁)+f(x&
函数与方程的 运用难题.
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c
(1)若a>b>c,且f(1)=0,试说明f(x)必有两个零点.
(2)若对x₁、x₂∈R且x₁<x₂,f(x₁)≠f(x₂),方程f(x)=1/2[f(x₁)+f(x₂)]有两个不相等的实数根,证明必有一个实根属于(x₁,x₂)
函数与方程的 运用难题.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(1)若a>b>c,且f(1)=0,试说明f(x)必有两个零点.(2)若对x₁、x₂∈R且x₁<x₂,f(x₁)≠f(x₂),方程f(x)=1/2[f(x₁)+f(x&
⑴由于f(1)=0
∴a+b+c=0
∴b=-(a+c)
∴△=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2
∵a>c
∴△>0
故f(x)与x轴必有两个交点
即f(x)有两个零点
⑵令g(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)],则:
g(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]
g(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=-1/2[f(x1)-f(x2)]
∴g(x1)g(x2)=-1/4[f(x1)-f(x2)]^2
∵f(x1)≠f(x2)
∴g(x1)g(x2)<0
∴g(x)=0必有两个不相等实数根,且在(x1,x2)之间必有一根
即方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)有两个不相等实数根,且在(x1,x2)之间必有一根