怎样用微积分证明gamma function Γ(n+1)=nΓ(n)最好能再给出Γ(n) = =(n-1)!的计算过程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 07:57:39
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怎样用微积分证明gamma function Γ(n+1)=nΓ(n)最好能再给出Γ(n) = =(n-1)!的计算过程.
怎样用微积分证明gamma function Γ(n+1)=nΓ(n)
最好能再给出Γ(n) = =(n-1)!的计算过程.
怎样用微积分证明gamma function Γ(n+1)=nΓ(n)最好能再给出Γ(n) = =(n-1)!的计算过程.
由伽玛函数的定义得
Γ(n+1)=∫(0,无穷)x^n e^(-x) dx
= -∫(0,无穷)x^n d(e^(-x))
= -x^n e^(-x)|(0,无穷)+∫(0,无穷)e^(-x) d(x^n) (分部积分)
=0+n∫(0,无穷)x^(n-1) e^(-x) dx
=nΓ(n).
其中 -x^n e^(-x)|(0,无穷)=0 利用了洛毕达法则求lim(x趋于无穷)x^n/e^x=0.
所以 Γ(n) = (n-1)Γ(n-1)= (n-1)(n-2)Γ(n-2)=……=(n-1)!Γ(1)=(n-1)!
因为容易求得 Γ(1)=∫(0,无穷) e^(-x) dx = -e^(-x)|(0,无穷)=1.