已知四面体ABCD的棱长都相等,E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点求证:面EHG垂直面FHG
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 01:56:25
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已知四面体ABCD的棱长都相等,E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点求证:面EHG垂直面FHG
已知四面体ABCD的棱长都相等,E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点
求证:面EHG垂直面FHG
已知四面体ABCD的棱长都相等,E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点求证:面EHG垂直面FHG
设棱长AB=4
在直角△AGH中可得GH=2√2
在直角△EHG中,EH=EG=2,所以△EGH是直角三角形
取GH中点K,连EK,可得EK=√2
同理可得FK=√2
在△EKF中,EF=2,EK=√2,FK=√2
所以△EKF是直角三角形,即EK⊥FK,
又EK⊥GH,FK⊥GH,
根据三垂线定理
则面EHG垂直面FHG
取GH中心M,连接EM,FM,连接EF
由于四面体棱长都相等,且E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点,
知三角形EGH、FGH均为以GH为底的等腰三角形
EM,FM均垂直于GH
角EMF为面EHG与FHG的夹角,只要证明此角为90度即可,即三角形EFM为等腰直角三角形
设棱长为a
则:EF=a/2
DG=/a2
DH=s...
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取GH中心M,连接EM,FM,连接EF
由于四面体棱长都相等,且E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点,
知三角形EGH、FGH均为以GH为底的等腰三角形
EM,FM均垂直于GH
角EMF为面EHG与FHG的夹角,只要证明此角为90度即可,即三角形EFM为等腰直角三角形
设棱长为a
则:EF=a/2
DG=/a2
DH=sqrt(3)a/2
GH=sqrt(3/4a^2-a^2/4)=sqrt(2)/2*a
EH=a/2
EM=sqrt(EH^2-MH^2)=sqrt(a^2/4-2a^2/16)=sqrt(2)/4*a
EM和FM和对称关系,FM=EM=sqrt(2)/4*a
FM^2+EM^2=a^2/8+a^2/8=a^2/4=EF^2
故三角形EFM为等腰直角三角形
面EHG垂直面FHG
sqrt是平方根号下的意思
收起
二楼是正解。