线性代数 试题 设矩阵A= 1 -1 1X 4 Y-3 -3 5 已知A有三个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,求可逆矩阵P,使(P逆AP)为对角矩阵.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 04:57:47
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线性代数 试题 设矩阵A= 1 -1 1X 4 Y-3 -3 5 已知A有三个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,求可逆矩阵P,使(P逆AP)为对角矩阵.
线性代数 试题
设矩阵A= 1 -1 1
X 4 Y
-3 -3 5
已知A有三个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,求可逆矩阵P,使(P逆AP)为对角矩阵.
线性代数 试题 设矩阵A= 1 -1 1X 4 Y-3 -3 5 已知A有三个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,求可逆矩阵P,使(P逆AP)为对角矩阵.
把λ=2带入|λI-A|,得:[1 1 -1
-X -2 -Y
3 3 -3]
这个矩阵的秩为3-2=1,所以都和第一行平行,X=2,Y=-2
tr(A)=∑λ=10,所以另一个λ=6
对应的特征向量为P1,P2,P3,则P=(P1,P2,P3)
我求了一个p=[1,0,-1
0,1,2
1,1,-3]
用matlab算
inv(p)*A*p
ans =
2 0 0
0 2 0
0 0 6
当然P不唯一
由特征向量构成的矩阵就是可逆矩阵P,特征向量排列不同只影响最终的对角阵,特征向量就按上面的那位求,我就不敲了;
求特征值
|λE-A|=0
λ=2是A的特征值
那么,有
2-1 1 -1
-X 2-4 -Y
3 3 2-5
=
1 1 -1
-X -2 -Y
3 3 -3
第一行分别乘以X,3, 加到第二行,第三行
1 1 -1
0 X-2...
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求特征值
|λE-A|=0
λ=2是A的特征值
那么,有
2-1 1 -1
-X 2-4 -Y
3 3 2-5
=
1 1 -1
-X -2 -Y
3 3 -3
第一行分别乘以X,3, 加到第二行,第三行
1 1 -1
0 X-2 -X-Y
0 0 0
λ=2是A的二重特征值
则
X-2=0
-X-Y=0
则,X=2,Y=-2
代入A中,再解
|λE-A|=0
λ-1 1 -1
-2 λ-4 2
3 3 λ-5
第一行乘以2,(λ-5),加到第2,3行
λ-1 1 -1
2λ-4 λ-2 0
(λ-5)(λ-1)+3 λ-2 0
=-(λ-2)^2(λ-6)
则另一根为λ=6
将λ=6,2代入AP=λP中,即
(λE-A)P=0
λ=6时
5 1 -1
2 1 0 X P1=0
0 0 0
继续化为:(第2行乘以-1,加到第1行)
3 0 -1
2 1 0 X P1=0
0 0 0
则P1=(1,-2,3)T
λ=2时
1 1 -1
0 0 0 X P2=0
0 0 0
则P2=(1,0,1)T,P3=(1,-1,0)T
则P为:
1 1 1
-2 0 -1
3 1 0
收起
一楼和三楼均正确,P不唯一,但只要随便求一个看得顺眼的就可以