高中数学数列求和竞赛题已知一个圆环上有三个点,该三点平分该圆环,老鼠从某一点出发,每一秒都有相等的概率走向另2点.若一只老鼠在第n秒时回到原地,则称这只老鼠为“傻的”,否则为“
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 16:23:51
![高中数学数列求和竞赛题已知一个圆环上有三个点,该三点平分该圆环,老鼠从某一点出发,每一秒都有相等的概率走向另2点.若一只老鼠在第n秒时回到原地,则称这只老鼠为“傻的”,否则为“](/uploads/image/z/700828-52-8.jpg?t=%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%95%B0%E5%88%97%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E9%A2%98%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%8E%AF%E4%B8%8A%E6%9C%89%E4%B8%89%E4%B8%AA%E7%82%B9%2C%E8%AF%A5%E4%B8%89%E7%82%B9%E5%B9%B3%E5%88%86%E8%AF%A5%E5%9C%86%E7%8E%AF%2C%E8%80%81%E9%BC%A0%E4%BB%8E%E6%9F%90%E4%B8%80%E7%82%B9%E5%87%BA%E5%8F%91%2C%E6%AF%8F%E4%B8%80%E7%A7%92%E9%83%BD%E6%9C%89%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%B5%B0%E5%90%91%E5%8F%A62%E7%82%B9.%E8%8B%A5%E4%B8%80%E5%8F%AA%E8%80%81%E9%BC%A0%E5%9C%A8%E7%AC%ACn%E7%A7%92%E6%97%B6%E5%9B%9E%E5%88%B0%E5%8E%9F%E5%9C%B0%2C%E5%88%99%E7%A7%B0%E8%BF%99%E5%8F%AA%E8%80%81%E9%BC%A0%E4%B8%BA%E2%80%9C%E5%82%BB%E7%9A%84%E2%80%9D%2C%E5%90%A6%E5%88%99%E4%B8%BA%E2%80%9C)
高中数学数列求和竞赛题已知一个圆环上有三个点,该三点平分该圆环,老鼠从某一点出发,每一秒都有相等的概率走向另2点.若一只老鼠在第n秒时回到原地,则称这只老鼠为“傻的”,否则为“
高中数学数列求和竞赛题
已知一个圆环上有三个点,该三点平分该圆环,老鼠从某一点出发,每一秒都有相等的概率走向另2点.若一只老鼠在第n秒时回到原地,则称这只老鼠为“傻的”,否则为“不傻的”,现将n-2只老鼠从同一地点释放令其走,隔一秒释放一只.求第n秒时“傻的”和“不傻的”老鼠数量之比
高中数学数列求和竞赛题已知一个圆环上有三个点,该三点平分该圆环,老鼠从某一点出发,每一秒都有相等的概率走向另2点.若一只老鼠在第n秒时回到原地,则称这只老鼠为“傻的”,否则为“
假定1只老鼠从0秒释放,到k秒时在原点和另外两点的概率分别为数列{ak}和{bk}.
显然k=0时 a0=1 b0=0
k=1时 a1=0 b1=1/2
.
k+1秒时
a(k+1)=bk/2+bk/2=bk .(1)
b(k+1)=ak/2+bk/2 .(2)
由式(1)(2)可得
a(k+2)=a(k+1)/2+ak/2 .(3)
式(3)的特征方程为
2λ²-λ-1=0
解得特征根为λ1=-1/2 λ2=1
{ak}的通项式可表示为
ak=C1*(-1/2)^k+C2
a0=C1+C2=1
a1=-C1/2+C2=0
解得C1=2/3 C2=1/3
ak=(2/3)*(-1/2)^k+1/3
一共有n-2只老鼠,第1只释放的老鼠到t=n秒时的时间为k=n,第n-2只老鼠释放到t=n秒时还有3秒,即k=3.
因此在t=n秒时,在原点老鼠的概率数为:
Sn=(k=3,n) ∑ak=n/3-[(-2)^(-n+1)]/9-13/18
不在原点的老鼠的概率数为
n-2 –Sn= 2n/3+[(-2)^(-n+1)]/9-23/18
它们的比例为Sn/[n-2-Sn]
这是个数列的题,假如在t=0时释放第一个老鼠,那么在第t=n秒时,最后一个释放的老鼠距离这个时候已经释放了3秒,那么此时傻老鼠的个数是(1/3)*(n-2)-(1/36)*(1-(-0.5)**(n-2)),双星号表示指数,写的比较简单