一道高中导数题f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)若函数f(x)在区间(1,正无穷)上是减函数,求实数a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:09:27
![一道高中导数题f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)若函数f(x)在区间(1,正无穷)上是减函数,求实数a的取值范围.](/uploads/image/z/6890712-24-2.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E9%AB%98%E4%B8%AD%E5%AF%BC%E6%95%B0%E9%A2%98f%28x%29%3D%28-a%5E2%29%28x%5E2%29%2Bax%2Blnx%28a%E5%B1%9E%E4%BA%8ER%29%E8%8B%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%881%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%EF%BC%89%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
一道高中导数题f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)若函数f(x)在区间(1,正无穷)上是减函数,求实数a的取值范围.
一道高中导数题
f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)
若函数f(x)在区间(1,正无穷)上是减函数,求实数a的取值范围.
一道高中导数题f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)若函数f(x)在区间(1,正无穷)上是减函数,求实数a的取值范围.
因为f‘(x)=(-a^2)*2x+a+1/x=(-2a^2*x^2+ax+1)/x=0
由于定义域为x>0,
所以-2a^2*x^2+ax+1=0
即(ax-1)(2ax+1)=0
若a=0,则f'(x)>0,所以在区间(1,正无穷大)上是增函数,所以不符合
因此a不等于0
因此f'(x)=0有两个解x=1/a或x=-1/(2a).
当a>0时,f'(x)在(0,1/a)上f'(x)>0,在(1/a,正无穷大)上f'(x)
f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx求导之后有-2a^2(x)+a+1/x<0在(1,正无穷)恒成立,分别作出y=a+1/x和y=2a^2(x)的图像,由图像知a>=1或a<=-1/2
f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx
f'(x)=-2a^2x+a+1/x=0
2a^2x^2-ax-1=0
(2ax+1)(ax-1)=0
ax=-1/2,ax=1
f'(x)=-2a^2x+a+1/x<0
-1/2
-1/2a
a∈(1,+∞)
若a<0则
1/a
因此a∈(1,+∞)
∵f′(x)=-2a2x-ax-1/x=-(2ax+1)(ax-1)/x
①当a=0时,不成立.
②当a>0时,f'(x)<0,得x>1/a,∴1/a≤1,a≥1.
③当a<0时,f'(x)<0,得x>-1/2a,∴-1/2a≤1,a≤-1/2
所以a∈(-∞,-1/2]∪[1,+∞)
∵f′(x)=-2a2x-ax-1/x=-(2ax+1)(ax-1)/x
①当a=0时,不成立.
②当a>0时,f'(x)<0,得x>1/a,∴1/a≤1,a≥1.
③当a<0时,f'(x)<0,得x>-1/2a,∴-1/2a≤1,a≤-1/2
a∈(-∞,-1/2]∪[1,+∞)