数学题高二上复习参考题; 已知a,b,c是不全相等的正数,求证 2(a^3+b^+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 12:10:09
![数学题高二上复习参考题; 已知a,b,c是不全相等的正数,求证 2(a^3+b^+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)](/uploads/image/z/6878293-61-3.jpg?t=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98%E9%AB%98%E4%BA%8C%E4%B8%8A%E5%A4%8D%E4%B9%A0%E5%8F%82%E8%80%83%E9%A2%98%EF%BC%9B+%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%2Cc%E6%98%AF%E4%B8%8D%E5%85%A8%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81+2%EF%BC%88a%5E3%2Bb%5E%2Bc%5E3%29%EF%BC%9Ea%5E2%28b%2Bc%29%2Bb%5E2%28a%2Bc%29%2Bc%5E2%28a%2Bb%29)
数学题高二上复习参考题; 已知a,b,c是不全相等的正数,求证 2(a^3+b^+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
数学题高二上复习参考题; 已知a,b,c是不全相等的正数,求证 2(a^3+b^+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
数学题高二上复习参考题; 已知a,b,c是不全相等的正数,求证 2(a^3+b^+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
最简单地方法:
利用均值不等式
a^3+a^3+b^3>=3a^2b,a^3+a^3+c^3>=3a^2c,相加得4a^3+b^3+c^3>=3a^2(b+c).同理可得4b^3+a^3+c^3>=3b^2(a+c).4c^3+b^3+a^3>=3c^2(b+a).
以上三式相加,再约去3就行了
方法2.先证明:a^3 + b^3 >= a^2b + ab^2
因为:
(a^3 + b^3) - (a^2b + ab^2)
= a^2 * (a-b) - b^2 * (a-b)
= (a^2 - b^2) (a - b)
= (a + b)(a - b)^2
>= 0
所以:a^3 + b^3 >= a^2b + ab^2
(取等号的条件是 a = b)
同理:
a^3 + b^3 >= a^2b + ab^2
a^3 + c^3 >= a^2c + ac^2
b^3 + c^3 >= b^2c + bc^2
三式相加,得:
2(a3+b3+c3) >= a2(b+c) + b2(a+c) + c2(a+b)
取等号的条件是 a = b = c
但题目中,a、b、c不全相等,所以:
2(a3+b3+c3) > a2(b+c) + b2(a+c) + c2(a+b)