在△ABC中,求证cosB/cosC=(c-bcosA)/(b-ccosA)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 03:10:23
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在△ABC中,求证cosB/cosC=(c-bcosA)/(b-ccosA)
在△ABC中,求证cosB/cosC=(c-bcosA)/(b-ccosA)
在△ABC中,求证cosB/cosC=(c-bcosA)/(b-ccosA)
证:根据余弦定理,得
COSA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
COSB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
COSC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
c-bCOSA
=c-b*(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(a^2+c^2-b^2)/(2c)
b-cCOSA
=b-c*(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(a^2+b^2-c^2)/(2b)
(c-bCOSA)/(b-cCOSA )
=[(a^2+c^2-b^2)/(2c)]/[(a^2+b^2-c^2)/(2b)]
=[b*(a^2+c^2-b^2)]/[c*(a^2+b^2-c^2)]
COSB/COSC
=[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]/[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]
=[b*(a^2+c^2-b^2)]/[c*(a^2+b^2-c^2)]
故cosB/cosC=(c-b*cosA)/(b-c*cosA )
三角形中 由正弦定理得...c=2rsinC b=2rsinB a=2rsinA
所以原式可变形为 cosB/cosC=(sinc-sinBcosA)/(sinB-sinCcosA)
欲证该等式成立..则可证cosB(sinB-sinCcosA)=cosC(sinc-sinBcosA)成立
再变形..得1/2(sin2B-sin2C)=cosAsin(C-B)
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三角形中 由正弦定理得...c=2rsinC b=2rsinB a=2rsinA
所以原式可变形为 cosB/cosC=(sinc-sinBcosA)/(sinB-sinCcosA)
欲证该等式成立..则可证cosB(sinB-sinCcosA)=cosC(sinc-sinBcosA)成立
再变形..得1/2(sin2B-sin2C)=cosAsin(C-B)
左边由和差化积得 左边=cos(B+C)sin(B-C)显然=右边...
得证...
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