一道数学不等式的证明实数a,b,c的绝对值都小于1,求证:ab+bc+ac+1>0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 15:32:19
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一道数学不等式的证明实数a,b,c的绝对值都小于1,求证:ab+bc+ac+1>0
一道数学不等式的证明
实数a,b,c的绝对值都小于1,求证:ab+bc+ac+1>0
一道数学不等式的证明实数a,b,c的绝对值都小于1,求证:ab+bc+ac+1>0
证明:将字母a作为变元,构造函数
f(x)=(b+c)x+bc+1
只证|x|<1时f(x)>0
而f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0
f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)>0
且f(x)是有单调性
∴-1<x<1时,f(x)位于f(-1)与f(-1)之间
即|a|<1时,f(a)=ab+bc+ac+1>0成立.
ab+bc+ac+1>0
你可以取特值,再根据特值推导出证明!
对不起,我只能说这么多了!
证明:构造函数 f(a)
f(a)=(b+c)a+bc+1
只证|a|<1时f(a)>0
而f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0
f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)>0
且f(a)是有单调性
而-1<a<1时,f(a)位于f(-1)与f(-1)之间
所以当|a|<1时,f(a)=ab+bc+ac+...
全部展开
证明:构造函数 f(a)
f(a)=(b+c)a+bc+1
只证|a|<1时f(a)>0
而f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0
f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)>0
且f(a)是有单调性
而-1<a<1时,f(a)位于f(-1)与f(-1)之间
所以当|a|<1时,f(a)=ab+bc+ac+1>0成立.
收起
ab+bc+ac+1
=1+((a+c)^2+(b+c)^2+(a+b)^2)/2-a^2-b^2-c^2
假设b为一固定的数,
则当a+c=0时,ab+bc+ac+1最小,
ab+bc+ac+1
>=1+((b+a)^2+(b-a)^2)/2-2a^2-b^2
=1+a^2+b^2-2a^2-b^2
=1-a^2>0
得证