三角形ABC中,D为AB上一点,连CD,DE平行BC交AC于E,EF平行CD交AB于F,证AB大于等于4DF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 00:26:21
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三角形ABC中,D为AB上一点,连CD,DE平行BC交AC于E,EF平行CD交AB于F,证AB大于等于4DF
三角形ABC中,D为AB上一点,连CD,DE平行BC交AC于E,EF平行CD交AB于F,证AB大于等于4DF
三角形ABC中,D为AB上一点,连CD,DE平行BC交AC于E,EF平行CD交AB于F,证AB大于等于4DF
因为 DE ∥ BC & EF ∥ CD,所以 AF :AD = AE :AC = AD :AB
AF = AD²/AB
DF = AD - AF = AD - AD²/AB
因为AB为固定值a,假设AD = x,DF = y
y = x - x²/a = (-1/a) (x² - ax) = (-1/a) (x² - ax + a²/4) + a/4 = (-1/a) (x - a/2) + a/4
极值点在 (a/2,a/4)
因此 y ≤ a/4 => DF ≤ AB/4
AB ≥ 4DF
由平行 可得 角AFE=角ADC 得三角形AFE相似于三角形ADC
可以得到 AF/AD=FE/DC
DC=AD*EF/AF
同样三角形DFE相似于三角形BDC
可以得到DF/BD=EF/DC=DE/BC
DC=BD*EF/DF
所以DC=AD*EF/AF=BD*EF/DF
AD/AF=BD/DF
可以设AF=a,DF=b,BD=c<...
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由平行 可得 角AFE=角ADC 得三角形AFE相似于三角形ADC
可以得到 AF/AD=FE/DC
DC=AD*EF/AF
同样三角形DFE相似于三角形BDC
可以得到DF/BD=EF/DC=DE/BC
DC=BD*EF/DF
所以DC=AD*EF/AF=BD*EF/DF
AD/AF=BD/DF
可以设AF=a,DF=b,BD=c
b=a*c/(a+b) 由此式可以得到 a=b*b/(c-b)
AB=a+b+c=b*b/(c-b)+b+c=c*c/(c-b)
AB-4DF=(c*c-4b(c-b))/(c-b)=((c*c-4bc+4b*b)/(c-b)
由前面DF/DE=DB/BC可知 b
因为(c-2b)*(c-2b)大于等于0 (平方数大于等于0)
所以有c*c-4bc+4b*b大于等于0
所以AB-4DF大于等于0 AB大于等于4DF
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