高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明:存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G(x).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 23:36:31
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高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明:存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G(x).
高数证明题-涉及可导性与连续性
已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明:存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G(x).
高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明:存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G(x).
F(x)在x=0处可导,那么lim(x→0)(F(x)-F(0))/(x-0)=lim(x→0)F(x)/x=F'(0)
那么定义G(x)= F(x)/x x不等于0
F‘(0) x=0
那么G(x)有定义
且lim(x→0)G(x)=lim(x→0)F(x)/x=F'(0)=G(0)
所以G(x)在x=0处连续,满足题意
只需要证明下面的G(x)在0处连续
x!=0时,G(x)=F(x)/x,
x=0时,G(x)=F'(0)
证明如下:
Lim(x->0)G(x)=LimF(x)/x
根据罗比达法则有,LimF(x)/x=LimF'(x)/1=F‘(0)
所以Lim(x->0)G(x)=F‘(0) ,也就是G(x)在0点的极限等于自身的函数值,所以G(x)在0处连续。
定义:G(x)=F(x)/x,x≠0,G(0)=F'(0)
因为:lim(G(x))=lim F(x)/x=lim(F(x))-F(0))/(x-0)=F'(0)=G(0)
所以G在0处连续,且F(x)=xG(x)
高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明:存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G(x).
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