高手解题:关于解三角形1``已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,且满足(sinA+sinB)^2-sin^2C=3sinAsinB,求证:A+B=120度. 2``在三角形ABC中,acosA+bcosB=ccosC,试判断三角形的形状.(A,B,C是角,a,b,c,是角的对边)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 22:02:13
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高手解题:关于解三角形1``已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,且满足(sinA+sinB)^2-sin^2C=3sinAsinB,求证:A+B=120度. 2``在三角形ABC中,acosA+bcosB=ccosC,试判断三角形的形状.(A,B,C是角,a,b,c,是角的对边)
高手解题:关于解三角形
1``已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,且满足(sinA+sinB)^2-sin^2C=3sinAsinB,求证:A+B=120度.
2``在三角形ABC中,acosA+bcosB=ccosC,试判断三角形的形状.(A,B,C是角,a,b,c,是角的对边)
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高手解题:关于解三角形1``已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,且满足(sinA+sinB)^2-sin^2C=3sinAsinB,求证:A+B=120度. 2``在三角形ABC中,acosA+bcosB=ccosC,试判断三角形的形状.(A,B,C是角,a,b,c,是角的对边)
(sinA+sinB)^2-sin^2C=3sinAsinB
sin²A+2sinAsinB+sin²B-3sinAsinB=sin²C
sin²A-sinAsinB+sin²B=sin²(A+B)
sin²A(sin²B+cos²B)-sinAsinB+sin²B(sin²A+cos²A)=(sinAcosB+sinBcosA)²
展开得
sin²A(sin²B+cos²B)-sinAsinB+sin²B(sin²A+cos²A)
=(sinAcosB+sinBcosA)²
=sin²Acos²B+2sinAsinBcosAcosB+sin²Bcos²A
两边减去相同项得
sin²Asin²B-sinAsinB+sin²Bsin²A=2sinAsinBcosAcosB
2sin²Asin²B-sinAsinB-2sinAsinBcosAcosB=0
sinAsinB(2sinAsinB-1-2cosAcosB)=0
2sinAsinB-1-2cosAcosB=0
sinAsinB-cosAcosB=1/2
-cos(A+B)=1/2
cos(A+B)=-1/2
A+B=120°
2.∵acosA+bcosB=ccosC
∴sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
∴sin2A+sin2B=sin2C=sin(2π-2A-2B)=-sin(2A+2B)
∴0=sin2A+sin2B+sin(2A+2B)
=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A(1+cos2B)+sin2B(1+cos2A)
=4sinAcosA(cosB)^2+4sinBcosB(cosA)^2
=4cosAcosBsin(A+B)
∵sin(A+B)=sin(π-C)=sinC>0
∴cosA=0或cosB=0
∴A=π/2或B=π/2
∴△ABC是以a或b为斜边的直角三角形
1.依题意得:
(sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2=sinAsinB
根据正弦定理,可以得到:
a^2+b^2-c^2=ab,即c^2=a^2+b^2+ab
根据余弦定理,可得:
c^2=a^2+b^2+2abcosC
对比两个式子可知,cosC=1/2
又因为C为三角形的内角,所以C的取值范围是(0,180度)
所...
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1.依题意得:
(sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2=sinAsinB
根据正弦定理,可以得到:
a^2+b^2-c^2=ab,即c^2=a^2+b^2+ab
根据余弦定理,可得:
c^2=a^2+b^2+2abcosC
对比两个式子可知,cosC=1/2
又因为C为三角形的内角,所以C的取值范围是(0,180度)
所以C=60度
所以A+B=120度
2.
∵acosA+bcosB=ccosC
∴sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
∴sin2A+sin2B=sin2C=sin(2π-2A-2B)=-sin(2A+2B)
∴0=sin2A+sin2B+sin(2A+2B)
=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A(1+cos2B)+sin2B(1+cos2A)
=4sinAcosA(cosB)^2+4sinBcosB(cosA)^2
=4cosAcosBsin(A+B)
∵sin(A+B)=sin(π-C)=sinC>0
∴cosA=0或cosB=0
∴A=π/2或B=π/2
∴△ABC是以a或b为斜边的直角三角形
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