已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 05:40:13
![已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.](/uploads/image/z/5421909-21-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%882i%E2%88%9Ax%2B1%2Fx%5E2%EF%BC%89%5En%2Ci+%E6%98%AF%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%95%E4%BD%8D%2Cx%E2%88%88R%2Cn%E2%88%88N.%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%A6%82%E6%9E%9C%E5%B1%95%E5%BC%80%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%80%92%E6%95%B0%E7%AC%AC%E4%B8%89%E9%A1%B9%E7%9A%84%E7%B3%BB%E6%95%B0%E6%98%AF-180%2C%E6%B1%82n%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%AF%B9%EF%BC%881%EF%BC%89%E4%B8%AD%E7%9A%84n%2C%E6%B1%82%E5%B1%95%E5%BC%80%E5%BC%8F%E4%B8%AD%E7%B3%BB%E6%95%B0%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0%E7%9A%84%E9%A1%B9.)
已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.
(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;
(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
解析:
展开式通项:
T(r+1)=C(n,r) *(2i√x)^(n-r) *(1/x²)^r=(2i)^(n-r) *C(n,r) *x^(n/2 - 5r/2)
(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,那么:r=n-2,
即有:(2i)^2 *C(n,n-2)=-180
-4*C(n,2)=-180
C(n,2)=45
解得:n=10
(2)由(1)知n=10,那么:
通项可写为T(r+1)=(2i)^(10-r) *C(10,r) *x^(5 - 5r/2)
若使展开式中的项的系数为正实数,须使得:(2i)^(10-r)>0
易知i^0=i^4=i^8=1>0,那么:
当r=10时,T11=(2i)^0 *C(10,10) *x^(5 - 25)=x^(-20),该项的系数为1;
当r=6时,T7=(2i)^4 *C(10,6) *x^(5 - 15)=16*C(10,6)*x^(-10),该项的系数为16*C(10,6)=3360;
当r=2时,T3=(2i)^8 *C(10,2) *x^(5 - 5)=256*C(10,2)=11520,该项为常数项.