已知函数f(x)=ax-Inx,若f(x)>1在区间(1,正无穷)内恒成立,则实数a的范围为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 13:57:30
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已知函数f(x)=ax-Inx,若f(x)>1在区间(1,正无穷)内恒成立,则实数a的范围为
已知函数f(x)=ax-Inx,若f(x)>1在区间(1,正无穷)内恒成立,则实数a的范围为
已知函数f(x)=ax-Inx,若f(x)>1在区间(1,正无穷)内恒成立,则实数a的范围为
答:a>=1
请看分析:f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立,
分离常数a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立,
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.
补充定义h(1)=1,则易知h(x)在x=1处连续.求导易得h'(x)=-lnx/x^21),得h(x)在(1,+oo)递减,
于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,
由于x>1,故h(x)maxh(x),得a的取值范围:a>=1.此时命题就恒成立了
(需要细细理解取等号.)
1、f'(x)=2x+a-1/x<=0,a<=1/x-2x在[1,2]上恒成立,研究不等式右侧函数易知其极小值在x=sqrt(2)/2处取得,所以a<=1/1-2*1=-1
2、g(x)=ax-lnx
(1)若最小值在(0,e]内取得,则g'(x)=a-1/x=0,x=1/a,g(1/a)=1-ln(1/a)=3,a=e^2,x=e^(-2)。验证a=e^2,发现...
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1、f'(x)=2x+a-1/x<=0,a<=1/x-2x在[1,2]上恒成立,研究不等式右侧函数易知其极小值在x=sqrt(2)/2处取得,所以a<=1/1-2*1=-1
2、g(x)=ax-lnx
(1)若最小值在(0,e]内取得,则g'(x)=a-1/x=0,x=1/a,g(1/a)=1-ln(1/a)=3,a=e^2,x=e^(-2)。验证a=e^2,发现它确实能使x=1/a为最小值,故成立。
(2)若最小值为x=e取得,则ae-1=3,,a=4/e。此时g(x)极小值点为x=e/4<e,不能满足x=e为最小值点。不成立。
综上,a=e^2。
(3)由2知,当a=e^2时g(x)取最小值3,即(e^2)x-lnx>=3,(e^2)x^2-xlnx>=3x,(e^2)x^2-3x>=xlnx(A),对比题中所给式,可知只要研究1/2x和lnx的关系。设u(x)=1/2x-xlnx,求导知x=2为最小值点,u(2)=1-ln2>0。故1/2x>lnx(B)。不等式(A)+(B)即得所证不等式。
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