已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 09:47:26
![已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.](/uploads/image/z/5256685-37-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%3Dx%5E4-x%5E3-7x%5E2%2B13x-6.x-1%E3%80%81x-2%E3%80%81x%2B3%E9%83%BD%E6%98%AFf%28x%29%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9B%A0%E5%BC%8F%2C%E6%B1%82%E8%AF%81f%28x%29%E8%83%BD%E8%A2%AB%28x-1%29%28x-2%29%28x%2B3%29%E6%95%B4%E9%99%A4.)
已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
本题根据整除的性质解题
∵(x-1)(x-2)互质
∴(x-1)(x-2)|f(x)
设k(x+3)=f(x)
(x-1)(x-2)|k(x+3)
∴(x-1)(x-2)与(x+3)互质
∴(x-1)(x-2)(x+3)|f(x)
x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式
说明能写成
f(x)=a(x-1)(x-2)(x+3) (a是一个常数)
所以f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
(x-1)(x-2)(x+3)=(x^2-3x+2)(x+3)=x^3-7x+6
用竖式运算、
x-1
__________________
x^3-7x+6 |x^4-x^3-7x^2+13x-6
x^4 -7x^2+ 6x<...
全部展开
(x-1)(x-2)(x+3)=(x^2-3x+2)(x+3)=x^3-7x+6
用竖式运算、
x-1
__________________
x^3-7x+6 |x^4-x^3-7x^2+13x-6
x^4 -7x^2+ 6x
____________________
-x^3 +7x-6
-x^3 +7x-6
________________
0
可见结论
楼上的做法其实也成!不过如果f(x)=(x+1/2)(x-1)(x-2)(x+3)恐怕就有点问题
收起