设P是一个数集,且至少含有两个数,若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域.例如,有理数Q是一个数域,数集F={a+b√2|a,b∈Q}也是数域.给出下列命题:①整数集是数域;②若有
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 12:44:44
![设P是一个数集,且至少含有两个数,若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域.例如,有理数Q是一个数域,数集F={a+b√2|a,b∈Q}也是数域.给出下列命题:①整数集是数域;②若有](/uploads/image/z/5159919-39-9.jpg?t=%E8%AE%BEP%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E9%9B%86%2C%E4%B8%94%E8%87%B3%E5%B0%91%E5%90%AB%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E6%95%B0%2C%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8Fa%2Cb%E2%88%88R%E9%83%BD%E6%9C%89a%2Bb%2Ca-b%2Cab%2Ca%2Fb+%E2%88%88P%28b%E2%89%A00%29%2C%E5%88%99%E7%A7%B0P%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%9F%9F.%E4%BE%8B%E5%A6%82%2C%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0Q%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%9F%9F%2C%E6%95%B0%E9%9B%86F%3D%7Ba%2Bb%E2%88%9A2%7Ca%2Cb%E2%88%88Q%7D%E4%B9%9F%E6%98%AF%E6%95%B0%E5%9F%9F.%E7%BB%99%E5%87%BA%E4%B8%8B%E5%88%97%E5%91%BD%E9%A2%98%EF%BC%9A%E2%91%A0%E6%95%B4%E6%95%B0%E9%9B%86%E6%98%AF%E6%95%B0%E5%9F%9F%EF%BC%9B%E2%91%A1%E8%8B%A5%E6%9C%89)
设P是一个数集,且至少含有两个数,若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域.例如,有理数Q是一个数域,数集F={a+b√2|a,b∈Q}也是数域.给出下列命题:①整数集是数域;②若有
设P是一个数集,且至少含有两个数,若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域.例如,有理数Q是一个数域,数集F={a+b√2|a,b∈Q}也是数域.给出下列命题:①整数集是数域;②若有理数集Q含于M,则数集M也为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.其中正确的命题有__________(填序号).
提都没看懂
设P是一个数集,且至少含有两个数,若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域.例如,有理数Q是一个数域,数集F={a+b√2|a,b∈Q}也是数域.给出下列命题:①整数集是数域;②若有
题目中“a,b∈R”,R应是P.
①1,2∈Z,1/2不属于Z,此为反例,不填;
②令M=Q∪{π},1,π∈M,1+π不属于M,此为反例,不填;
③令数域P,a,b∈P,由互异性a,b不会同时为0,不妨设a≠0,则
a+b,a-b∈P
(a+b)+(a-b)=2a∈P
2a/a=2∈P
a/a=1∈P
1-1=0∈P (数域必含元素0,1得证)
2+1=3∈P
3+1=4∈P
…………
因此,数域必为无限集,填.
(对于你说的{0,1},1+1=2不属于{0,1},所以{0,1}不是数域.)
④显然{F|F={a+b√p|a,b∈Q},p是质数}是无限集,且是数域集的子集,因此存在无穷多个数域,填.
令a,b,c,d∈Q,p是质数,则a+b√p,c+d√p∈F
a+c,b+d∈Q => (a+b√p)+(c+d√p)=a+c+(b+d)√p∈F
a-c,b-d∈Q => (a+b√p)-(c+d√p)=a-c+(b-d)√p∈F
ac+bdq,ad+bc∈Q => (a+b√p)(c+d√p)=ac+bdq+(ad+bc)√p∈F
(ac-bdq)/(c²-d²p),(bc-ad)/(c²-d²p)∈Q
=> (a+b√p)/(c+d√p)=(a+b√p)(c-d√p)/(c+d√p)(c-d√p)=[ac-bdq+(bc-ad)√p]/(c²-d²p)
=(ac-bdq)/(c²-d²p)+[(bc-ad)/(c²-d²p)]√p∈F
综合上述,p是质数时,F是数域,质数有无数个,因此F有无数个,因此数域有无数个.
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正确