f(x),g(x)都是R→R的连续函数,若g(x)=f(x)对所有有理数成立,求证:f=g
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 20:39:58
f(x),g(x)都是R→R的连续函数,若g(x)=f(x)对所有有理数成立,求证:f=g
f(x),g(x)都是R→R的连续函数,若g(x)=f(x)对所有有理数成立,求证:f=g
f(x),g(x)都是R→R的连续函数,若g(x)=f(x)对所有有理数成立,求证:f=g
只需证明对任意无理数x,有g(x)=f(x)成立即可
任意无理数x,都存在收敛于x的有理数列{xn},这样对于每个xn,有g(xn)=f(xn),两边取极限,注意到g(x),f(x)的连续性,有limg(xn)=limf(xn),limg(xn)=g(limxn)=g(x),limf(xn)=f(limxn)=f(x)
即g(x)=f(x)
从而对于任意实数x,g(x)=f(x),即f=g
证毕
证明:构造函数h(x)=f(x)-g(x).x∈R.问题可化为:若函数h(x)在R上连续,且对所有有理数m,恒有h(m)=0.求证:在R上,恒有h(x)=0.反证法。假设存在一个无理数w,使得h(w)≠0.∵函数h(x)在w处连续,∴由“连续性定义”可知,在包含w的一个充分小的区间内,恒有|h(x)-h(w)|<|h(w)|/2.显然当x取有理数时也成立,即有0<|h(w)|<|h(w)|/2.=...
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证明:构造函数h(x)=f(x)-g(x).x∈R.问题可化为:若函数h(x)在R上连续,且对所有有理数m,恒有h(m)=0.求证:在R上,恒有h(x)=0.反证法。假设存在一个无理数w,使得h(w)≠0.∵函数h(x)在w处连续,∴由“连续性定义”可知,在包含w的一个充分小的区间内,恒有|h(x)-h(w)|<|h(w)|/2.显然当x取有理数时也成立,即有0<|h(w)|<|h(w)|/2.===>0<1<1/2.矛盾。∴假设不成立。∴在R上,恒有h(x)=0.
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