已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P使PA^2+PB^2+PC^2最小,并求出此最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 23:15:26
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已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P使PA^2+PB^2+PC^2最小,并求出此最小值
已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P使PA^2+PB^2+PC^2最小,并求出此最小值
已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P使PA^2+PB^2+PC^2最小,并求出此最小值
设A、B、C三点的坐标分别为(0,0),(a,0),(a/2,√3a/2),
另设P(x,y)是平面上任一点,则
PA^2+PB^2+PC^2
=(x^2+y^2)+[(x-a)^2+y^2]+[(x-a/2)^2+(y-√3a/2)^2]
=3x^2+3y^2-3ax-√3ay+2a^2
=3[(x-a/2)^2+(y-√3a/6)^2]+a^2
可知,当x=a/2,y=√3a/6时(即P为正三角形中心),所求值最小,最小值为 a^2.
设A、B、C三点的坐标分别为(0,0),(a,0),(a/2,√3a/2),
另设P(x,y)是平面上任一点,则
PA^2+PB^2+PC^2
=(x^2+y^2)+[(x-a)^2+y^2]+[(x-a/2)^2+(y-√3a/2)^2]
=3x^2+3y^2-3ax-√3ay+2a^2
=3[(x-a/2)^2+(y-√3a/6)^2]+a^2
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设A、B、C三点的坐标分别为(0,0),(a,0),(a/2,√3a/2),
另设P(x,y)是平面上任一点,则
PA^2+PB^2+PC^2
=(x^2+y^2)+[(x-a)^2+y^2]+[(x-a/2)^2+(y-√3a/2)^2]
=3x^2+3y^2-3ax-√3ay+2a^2
=3[(x-a/2)^2+(y-√3a/6)^2]+a^2
可知,当x=a/2,y=√3a/6时(即P为正三角形中心),所求值最小,最小值为 a^2.
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