有关一个数学公式的问题公式:1的平方+2的平方+3的平方+.+N的平方=1/6*(N+1)*(2N+1)求它的证明最后是初中生能看懂的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 20:53:40
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有关一个数学公式的问题公式:1的平方+2的平方+3的平方+.+N的平方=1/6*(N+1)*(2N+1)求它的证明最后是初中生能看懂的
有关一个数学公式的问题
公式:1的平方+2的平方+3的平方+.+N的平方=1/6*(N+1)*(2N+1)
求它的证明
最后是初中生能看懂的
有关一个数学公式的问题公式:1的平方+2的平方+3的平方+.+N的平方=1/6*(N+1)*(2N+1)求它的证明最后是初中生能看懂的
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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