有若干个球,他们分布在 2n+1 个袋中,如果甲取走一个袋,乙总可以把剩下 2n 个袋分成两组,每组 n 个袋,并且这两组球的个数相等,试证:每个袋中球的个数相等.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 23:11:13
![有若干个球,他们分布在 2n+1 个袋中,如果甲取走一个袋,乙总可以把剩下 2n 个袋分成两组,每组 n 个袋,并且这两组球的个数相等,试证:每个袋中球的个数相等.](/uploads/image/z/4483043-35-3.jpg?t=%E6%9C%89%E8%8B%A5%E5%B9%B2%E4%B8%AA%E7%90%83%2C%E4%BB%96%E4%BB%AC%E5%88%86%E5%B8%83%E5%9C%A8+2n%2B1+%E4%B8%AA%E8%A2%8B%E4%B8%AD%2C%E5%A6%82%E6%9E%9C%E7%94%B2%E5%8F%96%E8%B5%B0%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%A2%8B%2C%E4%B9%99%E6%80%BB%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E6%8A%8A%E5%89%A9%E4%B8%8B+2n+%E4%B8%AA%E8%A2%8B%E5%88%86%E6%88%90%E4%B8%A4%E7%BB%84%2C%E6%AF%8F%E7%BB%84+n+%E4%B8%AA%E8%A2%8B%2C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%BB%84%E7%90%83%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%9B%B8%E7%AD%89%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%EF%BC%9A%E6%AF%8F%E4%B8%AA%E8%A2%8B%E4%B8%AD%E7%90%83%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%9B%B8%E7%AD%89.)
有若干个球,他们分布在 2n+1 个袋中,如果甲取走一个袋,乙总可以把剩下 2n 个袋分成两组,每组 n 个袋,并且这两组球的个数相等,试证:每个袋中球的个数相等.
有若干个球,他们分布在 2n+1 个袋中,如果甲取走一个袋,乙总可以把剩下 2n 个袋分成两组,每组 n 个袋,并且这两组球的个数相等,试证:每个袋中球的个数相等.
有若干个球,他们分布在 2n+1 个袋中,如果甲取走一个袋,乙总可以把剩下 2n 个袋分成两组,每组 n 个袋,并且这两组球的个数相等,试证:每个袋中球的个数相等.
设2n+1个整数a1到a(2n+1)具有性质P;从其中任意去掉一个,剩下的2n个数可以分成个数相等的两组,其和相等.证明这2n+1个整数全相等.
证明:分三步进行,每一步都有“不变量”的想法:
第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的
因为任意去掉一个数后,剩下的数可分成两组,其和相等,故剩下的2n个数的和都是偶数,因此,任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性;
第二步 如果a1到a(2n+1)具有性质P,则每个数都减去整数C之后,仍具有性质P,特别地取C=a1,得0.a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1
也具有性质P,由第一步的结论知,a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1 都是偶数;
第三步 由0,a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1 为偶数且具有性质P,可得0,(a2-a1)/2,(a3-a1)/2,...[a(2n+1)-a1]/2
都是整数,且仍具有性质P,再由第一步知,这2n+1个数的奇偶性相同,为偶数,所以都除以2后,仍是整数且具有性质P,余此类推,对任意的正整数 ,均有0,(a2-a1)/2^k,(a3-a1)/2^k,...[a(2n+1)-a1]/2^k
为整数,且具有性质P,因k可以任意大,这就推得a2-a1=a3-a1=...=a(2n+1)-a1 =0
即a1=a23=...=a(2n+1) .
得证
应为被甲取走的袋子是不确定的..
所以为了保证分成2部分后 两组球的个数相等.每个袋中球的个数必须相等