设向量组α1,α2,…αs的秩为r,且其中每个向量都可经α1,α2,…αr线性表出,证明α1,α2,…αr为α1,α2,…αs的一个极大线性无关组
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 10:19:24
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设向量组α1,α2,…αs的秩为r,且其中每个向量都可经α1,α2,…αr线性表出,证明α1,α2,…αr为α1,α2,…αs的一个极大线性无关组
设向量组α1,α2,…αs的秩为r,且其中每个向量都可经α1,α2,…αr线性表出,证明α1,α2,…αr为α1,α2,…αs的一个极大线性无关组
设向量组α1,α2,…αs的秩为r,且其中每个向量都可经α1,α2,…αr线性表出,证明α1,α2,…αr为α1,α2,…αs的一个极大线性无关组
α1,α2,…αs的秩为r
then
αr+1= (β1,r+1)α1 + (β2,r+1))α2 + ...
+ ...+(βr,r+1)αr
αr+2= (β1,r+2)α1 + (β2,r+2))α2 + ...
+ ...+(βr,r+2)αr
.
.
αs= (β1,s)α1 + (β2,s))α2 + ...
+ ...+(βr,s)αr
where r≤s ∈ Z+
(βi,j) is constant,
i=1,2,...,r
j= r+1,r+2,...,s
any linear combination of
αr+1,αr+2,…αs can be in terms of
α1,α2,…αr
ie
γ1αr+1 + γ2αr+2 + ...+γs-rαs
=β1α1+β2α2+...+βrαr
=> any linear combination of
α1,αr2,…αs can be in terms of
α1,α2,…αr
ie α1,α2,…αr为α1,α2,…αs的一个极大线性无关组
提示一下吧,要证明是极大无关组,只要能证明α1,α2,…αr线性无关,或者说它的秩为r
这其实很简单
因为向量组α1,α2,…αs的秩为r,且其中每个向量都可经α1,α2,…αr线性表出
则r=r(α1,α2,…αs)<=r(α1,α2,…αr)<=r
所以r(α1,α2,…αr)=r,从而是线性无关的,所以α1,α2,…αr为α1,α2,…αs的一个极大线性无关组...
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提示一下吧,要证明是极大无关组,只要能证明α1,α2,…αr线性无关,或者说它的秩为r
这其实很简单
因为向量组α1,α2,…αs的秩为r,且其中每个向量都可经α1,α2,…αr线性表出
则r=r(α1,α2,…αs)<=r(α1,α2,…αr)<=r
所以r(α1,α2,…αr)=r,从而是线性无关的,所以α1,α2,…αr为α1,α2,…αs的一个极大线性无关组
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