设Q表示有理数集,集合A={a+b根号2 a,b属于Q}1.如果x1,x2属于A,求证x1+x2属于A,x1×x2属于A 2.对于任意的Y1,Y2属于A,且Y2不等于0,是否一定有 Y1/Y2属于A,说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 00:49:05
![设Q表示有理数集,集合A={a+b根号2 a,b属于Q}1.如果x1,x2属于A,求证x1+x2属于A,x1×x2属于A 2.对于任意的Y1,Y2属于A,且Y2不等于0,是否一定有 Y1/Y2属于A,说明理由](/uploads/image/z/3898248-24-8.jpg?t=%E8%AE%BEQ%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%E9%9B%86%2C%E9%9B%86%E5%90%88A%3D%7Ba%2Bb%E6%A0%B9%E5%8F%B72+a%2Cb%E5%B1%9E%E4%BA%8EQ%7D1.%E5%A6%82%E6%9E%9Cx1%2Cx2%E5%B1%9E%E4%BA%8EA%2C%E6%B1%82%E8%AF%81x1%2Bx2%E5%B1%9E%E4%BA%8EA%2Cx1%C3%97x2%E5%B1%9E%E4%BA%8EA+2.%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84Y1%2CY2%E5%B1%9E%E4%BA%8EA%2C%E4%B8%94Y2%E4%B8%8D%E7%AD%89%E4%BA%8E0%2C%E6%98%AF%E5%90%A6%E4%B8%80%E5%AE%9A%E6%9C%89+Y1%2FY2%E5%B1%9E%E4%BA%8EA%2C%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1)
设Q表示有理数集,集合A={a+b根号2 a,b属于Q}1.如果x1,x2属于A,求证x1+x2属于A,x1×x2属于A 2.对于任意的Y1,Y2属于A,且Y2不等于0,是否一定有 Y1/Y2属于A,说明理由
设Q表示有理数集,集合A={a+b根号2 a,b属于Q}
1.如果x1,x2属于A,求证x1+x2属于A,x1×x2属于A
2.对于任意的Y1,Y2属于A,且Y2不等于0,是否一定有 Y1/Y2属于A,说明理由
设Q表示有理数集,集合A={a+b根号2 a,b属于Q}1.如果x1,x2属于A,求证x1+x2属于A,x1×x2属于A 2.对于任意的Y1,Y2属于A,且Y2不等于0,是否一定有 Y1/Y2属于A,说明理由
1)
证明:设x1=a1+b1*根号2,x2=a2+b2*根号2 (a,b系列均为有理数),所以x1+x2=(a1+a2)+(b1+b2)*根号2,由有理数线性运算的封闭性,得:a1+a2,b1+b2均为有理数,所以x1+x2属于A;
x1*x2=(a1+b1*根号2)(a2+b2*根号2)=(a1*a2+2b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)*根号2,同上,得:x1*x2属于A.
2)
结论:是的
证明:设y1=a1+b1*根号2,y2=a2+b2*根号2(a,b系列均为有理数,y2非零)
所以y1/y2=(a1+b1*根号2)*(a2-b2*根号2)/[(a2)^2-2(b2)^2]
={(a1*a2-2b1*b2)/[(a2)^2-2(b2)^2]}+{(a2*b1-a1*b2)*根号2/[(a2)^2-2(b2)^2]}
因为a1*a2-2b1*b2 , [(a2)^2-2(b2)^2],
a2*b1-a1*b2均为有理数且[(a2)^2-2(b2)^2]非零,
根据一个有理数与另一个非零有理数之商亦为有理数,
得:{(a1*a2-2b1*b2)/[(a2)^2-2(b2)^2]}与(a2*b1-a1*b2)/[(a2)^2-2(b2)^2]均为有理数,
所以y1*y2属于A.
x1 = a + b√2, x2 = c + d√2,则
(1)
x1 + x2 = (a+b) + (c+d)√2 ∈ A;
x1x2 = (ac+2bd) + (ad+bc)√2 ∈ A.
(2)
x1/x2 = (a+b√2)/(c+d√2) = (a+b√2)(c-d√2)/(c²-2d²)
= (ac-2bd)/(c&...
全部展开
x1 = a + b√2, x2 = c + d√2,则
(1)
x1 + x2 = (a+b) + (c+d)√2 ∈ A;
x1x2 = (ac+2bd) + (ad+bc)√2 ∈ A.
(2)
x1/x2 = (a+b√2)/(c+d√2) = (a+b√2)(c-d√2)/(c²-2d²)
= (ac-2bd)/(c²-2d²) + [(bc-ad)/(c²-2d²)]√2 ∈ A.
A就是数域Q(√2),它对加减乘除法都是封闭的。
收起
没分做个头啊