n趋向于无穷大时,a^n/n!极限为0的具体求法
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:56:29
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n趋向于无穷大时,a^n/n!极限为0的具体求法
n趋向于无穷大时,a^n/n!极限为0的具体求法
n趋向于无穷大时,a^n/n!极限为0的具体求法
也就是要证明,对于任意ε>0,存在N>0,当n>N时,a^n/n!<ε.
因为a是个有限的实数,不妨设m<=a
于是,a^n/n!=[a^(2m)/(2m!)]*[a^(n-2m)/((2m+1)...n)]
<=M*(1/2)^(n-2m).
现在估计M.
由于m
因此,当N>2[a]+lg(M/ε)/lg(2)时,
a^n/n!
因此a^n/n!的极限为0.
构造一个以a^n/n!为通项的级数:
1+∑{n从0到无穷}(a^n/n!)
=1+a/1!+a^2/2!+a^3/3!+...
我们知道这就是e^a的泰勒级数展开式,这个展开式的收敛域是(负无穷,正无穷)所以不管a去什么数,这个级数总是收敛的。而级数收敛有一个必要条件就是通项的极限趋于0,于是有lim{n->无穷}a^n/n!=0。...
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构造一个以a^n/n!为通项的级数:
1+∑{n从0到无穷}(a^n/n!)
=1+a/1!+a^2/2!+a^3/3!+...
我们知道这就是e^a的泰勒级数展开式,这个展开式的收敛域是(负无穷,正无穷)所以不管a去什么数,这个级数总是收敛的。而级数收敛有一个必要条件就是通项的极限趋于0,于是有lim{n->无穷}a^n/n!=0。
收起
n→∞时,n!与n^n同阶,且a/n→0
a^n/n!=a^n/n^n=(a/n)^n=0