已知函数g(x)满足g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,且f(x)=2x+3,问,是否存在常数k,b使得f(g(x))=g(f(x))对任意x恒成立?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 02:19:30
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已知函数g(x)满足g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,且f(x)=2x+3,问,是否存在常数k,b使得f(g(x))=g(f(x))对任意x恒成立?
已知函数g(x)满足g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,且f(x)=2x+3,问,
是否存在常数k,b使得f(g(x))=g(f(x))对任意x恒成立?
已知函数g(x)满足g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,且f(x)=2x+3,问,是否存在常数k,b使得f(g(x))=g(f(x))对任意x恒成立?
说一下思路:
既然问f[g(x)]与g[f(x)]相等时如何,那么就需要知道f[g(x)]与g[f(x)]的表达式如何,而且这个表达式是可以知道的.
f[g(x)]=2*g(x)+3=2kx+2b+3
g[f(x)]=kf(x)+b=2kx+3k+b
当f[g(x)]=g[f(x)]时,有2kx+2b+3=2kx+3k+b,得到b+3=3k
也就是说,如果存在常熟k,b,使得b+3=3k成立,则一定存在常熟k,b,使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意x恒成立.
那么k,b是任意取值吗?
g(x)=kx+b是一条直线的表达式,那么g(1)与g(-1)肯定是一个大一个小的关系,又因为“最大值与最小值之差为2”,可以认为g(1)-g(-1)=2或者g(-1)-g(1)=2,得到k=1或者k=-1,且不论k=1或-1,与b无关.
将k=1和k=-1带入到b+3=3k式子中,即可得到,当k=1时,b=0,当k=-1时,b=-6.
综上,存在常熟k,b,使得等式恒成立