一顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为3√5,求抛物线的方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 20:59:06
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一顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为3√5,求抛物线的方程.
一顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为3√5,求抛物线的方程.
一顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为3√5,求抛物线的方程.
依题意,设抛物线方程为:y² = 2px;与直线2x-y-4 =0 的交点为(x1,y1) ,(x2,y2)则有:
(x1-x2)² + (y1-y2)² = (3√5)²
2x-y-4 =0 ==> x =(y+4)/2,等式化为:
[(y1+4)/2 - (y2+4)/2]² + (y1-y2)² = 45
==> (y1-y2)² = 36; --- (1)
将 x =(y+4)/2 带入抛物线方程,有:
y² = p(y+4) ==> y² - py -4p = 0;y1,y2就是方程的两个根,有:
y1+y2 = p;y1*y2 = -4p;
==> (y1-y2)² = (y1+y2)² - 4y1y2 = p² +16p --- (2)
由式(1)(2)可知:
p² +16p = 36
解得:p = 2 或 p =-18;
因此抛物线方程为:
y² = 4x;或 y² = -36x
p=-18或2
设抛物线为y^2=2px
将y=2x-4代入得
4x^2-(16+2p)x+16=0
设交点A(x1,y1,) B(x2,y2)
x1+x2=4+p/2 x1x2=4
(x1-x2)^2=p^2/4+4p
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y)^2=5(x1-x2)^2=(3√5)^2
得p=-18或2
∴y^2=-36x 或y^2=4x