已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△ADE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 15:42:16
![已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△ADE](/uploads/image/z/3720150-54-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%2C%E5%A6%82%E5%9B%BE%E9%94%90%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E5%86%85%E6%8E%A5%E4%BA%8EO%2C%E2%88%A0ABC%3D45%C2%B0%2C%E7%82%B9D%E6%98%AF%E5%9C%86O%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E8%BF%87%E7%82%B9D%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BFDE%E4%BA%A4AC%E7%9A%84%E5%BB%B6%E4%B8%94DE%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8EBC%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5AD%2CBD%2CBE%2CAD%E7%9A%84%E5%9E%82%E7%BA%BFAF%E4%B8%8EDC%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%E2%96%B3ABD%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E4%BA%8E%E2%96%B3ADE)
已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△ADE
已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延
且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△ADE
已知,如图锐角三角形ABC内接于O,∠ABC=45°,点D是圆O上一点,过点D的切线DE交AC的延且DE平行于BC,连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F,求证△ABD相似于△ADE
证明:∵BC平行DE.
∴∠AED=∠ACB;
又∠ADB=∠ACB.(同弧所对的圆周角相等)
∴∠AED=∠ADB.(等量代换)-------------------------------------------------(1)
∵DE与圆相切.
∴∠ADE=∠ABD.(弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角)----------------(2)
∴⊿ABD∽⊿ADE.
(注:若没学过弦切角定理,在证∠ADE=∠ABD时可以按如下过程来写.
连接DO并延长交圆O于M,连接AM.DM为直径,则∠MAD=90°,∠AMD+∠ADM=90°;
又DE为切线,则OD垂直于DE,∠ADE+∠ADM=90°.
∴∠ADE=∠AMD;又∠ABD=∠AMD.故∠ABD=∠ADE.)
∵DE切圆O于D,
∴∠ADE=∠ABD=弧ACD度数的一半,
又DE∥BC,
∴弧BD=弧CD,
∴∠BAD=∠EAD,
∴△ABD∽△ADE.
证明:∵BC平行DE.
∴∠AED=∠ACB;
又∠ADB=∠ACB.
∴∠AED=∠ADB
∵DE与圆相切.
∴∠ADE=∠ABD.
∴⊿ABD∽⊿ADE.