设△ABC,3sinB=sin(2A+B),∠A为锐角,1.求证tan(A+B)=2tanA;2.求tanB的最大值以及取得最大值时tanA的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 14:49:56
![设△ABC,3sinB=sin(2A+B),∠A为锐角,1.求证tan(A+B)=2tanA;2.求tanB的最大值以及取得最大值时tanA的值.](/uploads/image/z/3711503-47-3.jpg?t=%E8%AE%BE%E2%96%B3ABC%2C3sinB%3Dsin%282A%2BB%29%2C%E2%88%A0A%E4%B8%BA%E9%94%90%E8%A7%92%2C1.%E6%B1%82%E8%AF%81tan%28A%2BB%29%3D2tanA%3B2.%E6%B1%82tanB%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%BB%A5%E5%8F%8A%E5%8F%96%E5%BE%97%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E6%97%B6tanA%E7%9A%84%E5%80%BC.)
设△ABC,3sinB=sin(2A+B),∠A为锐角,1.求证tan(A+B)=2tanA;2.求tanB的最大值以及取得最大值时tanA的值.
设△ABC,3sinB=sin(2A+B),∠A为锐角,1.求证tan(A+B)=2tanA;2.求tanB的最大值以及取得最大值时tanA的值.
设△ABC,3sinB=sin(2A+B),∠A为锐角,1.求证tan(A+B)=2tanA;2.求tanB的最大值以及取得最大值时tanA的值.
1.3sinB=sin(2A+B)
3sin[(A+B)-A]=sin[(A+B)+A]
3sin(A+B)cosA-3cos(A+B)sinA=siin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
2sin(A+B)cosA=4cos(A+B)sinA
tan(A+B)=2tanA
2.(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=2tanA
tanA+tanB=2tanA-2tan^2A*tanB
tanB=tanA/(1+2tan^2A)=1/(1/tanA+2tanA) 1/tanA+2tanA>=2√2
>=1/(2√2)
tanB的最大值2√2
此时tanA=√2/2
1、3sin[(A+B)-A]=sin[(A+B)+A]
3(sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA)=sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
展开:tan(A+B)=2tanA
2、由一得到tanB=tanA/(1+2tan^2A)
=1/(2tanA+1/tanA)<=1/(2根2)=根2/4
此时2tanA=1/tanA tanA=根2/2
3sinB=sin(2A+B)
即3sin(A+B-A)=sin(A+B+A)
即3[sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA]=sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
即sin(A+B)cosA=2cos(A+B)sinA
即tan(A+B)=2tanA
(2)由tan(A+B)=2tanA,得tanA+tanB/1-tanAtanB...
全部展开
3sinB=sin(2A+B)
即3sin(A+B-A)=sin(A+B+A)
即3[sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA]=sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
即sin(A+B)cosA=2cos(A+B)sinA
即tan(A+B)=2tanA
(2)由tan(A+B)=2tanA,得tanA+tanB/1-tanAtanB=2tanA
整理得:
tanB=tanA/(1+2tanA^2)=1/(1/tanA+2tanA)≤1/2√2=√2/4
(∵在△ABC中,A为锐角,tanA>0)
当且仅当1/tanA=2tanA即tanA=√2/2时取等号
故tanB的最大值是√2/4,此时tanA的值为√2/2
收起
怡哥?