同问 在正方形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N(1)求证:∠EAF=45°(2)求证:MN²=BM²+DN²
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 10:08:29
同问 在正方形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N(1)求证:∠EAF=45°(2)求证:MN²=BM²+DN²
同问 在正方形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N
(1)求证:∠EAF=45°
(2)求证:MN²=BM²+DN²
同问 在正方形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N(1)求证:∠EAF=45°(2)求证:MN²=BM²+DN²
(1).把△ABE绕点A逆时针旋转90度.
得到△AGF≌△AEF
∴∠EAF=∠GAF=(1/2)×90°=45°.
(2) ∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°,
将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合,得到△ABK,
则∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,AK=AN,
与(1)一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK,
∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°,
∴△BMK为直角三角形,
∴BK2+BM2=MK2,
∴BM2+DN2=MN2.
证明:在CB的延长线上取点G,使BG=DF,连接AG,过点B作BH⊥BD交AG于H,连接MH
∵正方形ABCD
∴AB=AD,∠ABG=∠D=∠BAD=90, ∠ABD=∠ADB=45
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90-∠EAF
∵BG=DF
∴△ABG≌△ADF (SAS)
∴AG=AF,∠BAG=∠DAF
∴∠EAG=∠B...
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证明:在CB的延长线上取点G,使BG=DF,连接AG,过点B作BH⊥BD交AG于H,连接MH
∵正方形ABCD
∴AB=AD,∠ABG=∠D=∠BAD=90, ∠ABD=∠ADB=45
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90-∠EAF
∵BG=DF
∴△ABG≌△ADF (SAS)
∴AG=AF,∠BAG=∠DAF
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=90-∠EAF
∵EG=BE+BG=BE+DF,EF=BE+DF
∴EG=EF
∵AE=AE
∴△AEF≌△AEG (SSS)
∴∠EAG=∠EAF
∴∠EAF=90-∠EAF
∴∠EAF=45°
∵BH⊥BD
∴∠HBD=90,MH²=BM²+BH²
∴∠ABH=∠HBD-∠ABD=45
∴∠ABH=∠ADN
∴△ABH≌△ADN (ASA)
∴BH=DN,AH=AN
∵AM=AM
∴△AMH≌△AMN (SAS)
∴MH=MN
∴MN²=BM²+DN²
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(1)延长CB,使BG=DF,连接AG
因为ABCD是正方形
所以AB=AD
角BAD=角ABG=角ADF=90度
所以直角三角形ABG和直角三角形ADF全等(SAS)
所以角BAG=角DAF
AG=F
因为EF=BE+DF
EG=BG+BE
所以EG=EF
因为AE=AE
所以三角形GAE和三角形FAE全等(...
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(1)延长CB,使BG=DF,连接AG
因为ABCD是正方形
所以AB=AD
角BAD=角ABG=角ADF=90度
所以直角三角形ABG和直角三角形ADF全等(SAS)
所以角BAG=角DAF
AG=F
因为EF=BE+DF
EG=BG+BE
所以EG=EF
因为AE=AE
所以三角形GAE和三角形FAE全等(SSS)
所以角GAE=角EAF
因为角BAD=角BAE+角EAF+角DAF
角GAE=角BAG+角BAE
所以2角EAF=90度
所以角EAF=45度
(2)证明:过点B角ABG的平分线BH且与AG相交于H,连接MH
所以角GBH=角ABH=1/2角ABG
因为ABCD是正方形
所以角ABG=90度
角NDF=角ABM=45度
所以角GBH=角ABH=45度
因为三角形ABG和三角形ADF全等(已证0
所以角G=角DFH
角GBH=角NDF=45度
BG=DF
所以三角形GBH和三角形FDN全等(ASA)
所以GH=FN
BH=DN
因为角HBM=角ABH+角ABM=45+45=90度
所以在直角三角形HBM中,由勾股定理得:
MH^2=BM^2+BH^2
所以MH^2=BM^2+DN^2
因为AG=AF(已证)
AG=AH+GH
AF=AN+FN
所以AH=AN
因为角EAF=45度(已证)
角GAF=角EAF=45度
因为AM=AM
所以三角形HAM和三角形NAM全等(SAS)
所以MH=MN
所以MN^2=BM^2+DN^2
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