n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 13:41:52
![n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.](/uploads/image/z/2723128-16-8.jpg?t=n%E7%BB%B4%E5%88%97%E5%90%91%E9%87%8F%CE%B11%2C%CE%B12%2C%CE%B13%2C...%CE%B1%28n%EF%BC%8D1%EF%BC%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3%2C%E4%B8%94%E4%B8%8E%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E5%90%91%E9%87%8F%CE%B21%2C%CE%B22%E6%AD%A3%E4%BA%A4%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%CE%B21%2C%CE%B22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3%EF%BC%9B%CE%B11%2C%CE%B12%2C%CE%B13%2C...%CE%B1%28n%EF%BC%8D1%EF%BC%89%2C%CE%B21%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3.)
n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.
n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,
证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.
n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.
假设β1可由α1,α2,α3,...α(n-1)线性表出,
记 β1=k1*α1+k2*α2+k3*α3+……+k(n-1)*α(n-1)
由于α1,α2,α3,...α(n-1)与β1 正交
即αi点乘β1=0(i=1,……,n-1)
可推出ki=0(i=1,……,n-1)即β1=0与题设相矛盾,
则有α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关
同理α1,α2,α3,...α(n-1),β2线性无关
由于n+1个n维向量必线性相关,以及上述两个结论,可得
β1,β2线性相关
α1,α2,α3,。。。α(n-1)线性无关。
A=<α1,α2,α3,。。。α(n-1)>为n-1维子空间。设B是A在n维空间的正交
补,则B是1维子空间。β1、β2都在B.
∴β1,β2线性相关(个数>空间维数必相关)。
再假如α1,α2,α3,。。。α(n-1),β1线性相关。从“无关相关表示定理”
β1可以用α1,α2,α3,。。。α(n-1)线性表...
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α1,α2,α3,。。。α(n-1)线性无关。
A=<α1,α2,α3,。。。α(n-1)>为n-1维子空间。设B是A在n维空间的正交
补,则B是1维子空间。β1、β2都在B.
∴β1,β2线性相关(个数>空间维数必相关)。
再假如α1,α2,α3,。。。α(n-1),β1线性相关。从“无关相关表示定理”
β1可以用α1,α2,α3,。。。α(n-1)线性表示。β1∈A.而β1∈B.
β1∈A∩B=<0>,β1=0,矛盾。
∴α1,α2,α3,。。。α(n-1),β1线性无关。
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