求:lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;于是式子变为:1^无穷,不定式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 05:13:20
![求:lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;于是式子变为:1^无穷,不定式.](/uploads/image/z/2688799-31-9.jpg?t=%E6%B1%82%EF%BC%9Alim%28x-%3E0%29%5B1%2Be-%281%2Bx%29%5E%281%2Fx%29%5D%5E%281%2Fx%29lim%28x-%3E0%29%281%2Bx%29%5E%281%2Fx%29%3De%3B%E4%BA%8E%E6%98%AF%E5%BC%8F%E5%AD%90%E5%8F%98%E4%B8%BA%EF%BC%9A1%5E%E6%97%A0%E7%A9%B7%2C%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E5%BC%8F.)
求:lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;于是式子变为:1^无穷,不定式.
求:lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)
lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;
于是式子变为:1^无穷,不定式.
求:lim(x->0)[1+e-(1+x)^(1/x)]^(1/x)lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e;于是式子变为:1^无穷,不定式.
=limexp{ln[1+e-(1+x)^(1/x)]/x}
=exp{lim[e-(1+x)^(1/x)]/x}(等价无穷小的替换)
=exp{lim[e-e^(ln(1+x)/x)]/x}
=exp{lim[e-e^(1-x/2+o(x))]/x}(泰勒公式求极限)
=exp{elim[1-e^(-x/2+o(x))]/x}
=exp{elim[1-(1-x/2+o(x)]/x}
=exp{elim[1/2+o(1)]}
=exp{e/2}
手机打字累……你试试用(1+X)^n=e^(n*In(1+n)),化成你熟悉的未定式,然后再用等价无穷小代换,接下来你应该会做了吧
(1+X)^n=e^(n*In(1+n)
=limexp{ln[1+e-(1+x)^(1/x)]/x}
=exp{lim[e-(1+x)^(1/x)]/x}(等价无穷小替换)
=exp{lim[e-e^(ln(1+x)/x)]/x}
=exp{lim[e-e^(1-x/2+o(x))]/x}(泰勒公式求极限)
=exp{elim[1-e^(-x/2+o(x))]/x}
=exp{elim[1-(1-x/2+o(x)]/x}
=exp{elim[1/2+o(1)]}
=exp{e/2}
本题可以运用特殊极限即可解答,无须运用麦克劳林级数。 对一般学生来说,学特殊极限时,离麦克劳林级数,还相差很远。 如同要求小学生用中学生的方法解答小学问题一般,太勉为其难了。 国内的教学是将麦克劳林级数与泰勒级数混为一谈的,楼主若出国留学的话,需要小心,以免被误导。 点击放大,放大荧屏可以继续再放大: