设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a’b>0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是正定矩阵.我做了两天都是如果b有任意性H是正定的,否则整不出来.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 18:41:51
![设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a’b>0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是正定矩阵.我做了两天都是如果b有任意性H是正定的,否则整不出来.](/uploads/image/z/2652421-13-1.jpg?t=%E8%AE%BEE%E4%B8%BAn%E7%BA%A7%E5%8D%95%E4%BD%8D%E7%9F%A9%E9%98%B5%2Ca%2Cb%E4%B8%BA%E7%BB%99%E5%AE%9A%E7%9A%84n%E7%BB%B4%E5%88%97%E5%90%91%E9%87%8F%E5%B9%B6%E6%9C%89a%E2%80%99b%3E0%2C%E8%AF%81%E6%98%8EH%3DE-%28bb%27%29%2F%28b%27b%29%2B%28aa%27%29%2F%28a%27b%29%E6%98%AF%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5.%E6%88%91%E5%81%9A%E4%BA%86%E4%B8%A4%E5%A4%A9%E9%83%BD%E6%98%AF%E5%A6%82%E6%9E%9Cb%E6%9C%89%E4%BB%BB%E6%84%8F%E6%80%A7H%E6%98%AF%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9A%84%2C%E5%90%A6%E5%88%99%E6%95%B4%E4%B8%8D%E5%87%BA%E6%9D%A5.)
设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a’b>0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是正定矩阵.我做了两天都是如果b有任意性H是正定的,否则整不出来.
设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a’b>0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是正定矩阵.我做了两天都是如果b有任意性H是正定的,否则整不出来.
设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a’b>0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是正定矩阵.我做了两天都是如果b有任意性H是正定的,否则整不出来.
设 e1 =b/|b|, 可以有单位正交基: e1,e2,.,en.
在这组基下, 向量b的坐标为 (b1,0,...,0)', 向量a的坐标为(a1,.,an)', 其中 a1*b1 = a‘b >0.
H 所对应的线性变换在基{e1,e2,...,en}下, 成为:
E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1)
任给列向量 x, 设其在基{e1,e2,...,en}下坐标为 (x1,...xn)'
则
x'(E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1) )x
=x'Ex - x' (bb')/b1^2 x + x' (aa')/(a1*b1) x
=(x1^2+...+xn^2) - x1^2 + 1/(a1b1) * (x'a)*(a'x)
= x2^2 + ...+ xn^2 + 1/(a1b1) * (a1x1 + ...+anxn)^2
>= 0
而 如果 其= 0, 则有:
x2^2 + ...+ xn^2 = 0 =====》 x2=...=xn=0
a1x1 + ...+anxn=0 ====> x1=0
即:如果 |x|>0 则 x'(E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1) )x >0
所以H 所对应的线性变换是正定变换,于是 H必为正定矩阵.