一道初二勾股定理题【内含图已知△ABC为等边三角形P为△内任意一点AP=4CP=2BP=2根号3求S△ABC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 10:58:02
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一道初二勾股定理题【内含图已知△ABC为等边三角形P为△内任意一点AP=4CP=2BP=2根号3求S△ABC
一道初二勾股定理题【内含图
已知△ABC为等边三角形
P为△内任意一点
AP=4
CP=2
BP=2根号3
求S△ABC
一道初二勾股定理题【内含图已知△ABC为等边三角形P为△内任意一点AP=4CP=2BP=2根号3求S△ABC
如图,将△PAB绕点A逆时针旋转60°,得到△P'AC,连结P'B
则△P'AC≌△PAC,∴AP'=AP=4,CP'=BP=2√3,∠ACP'=∠ABP,∠P'AC=∠PAB
∵∠PAB+∠PAC=60°,∴∠P'AC+∠PAC=60°
∴∠PAP'=60°,∴△APP'是等边三角形
∴PP'=AP=4,∠APP'=60°
在△PCP'中,∵CP²+CP'²=2²+(2√3)²=16,PP'²=4²=16
∴CP²+CP'²=PP'²,∴△PCP'是直角三角形,∠PCP'=90°
又PP'=2CP,∴∠PP'C=30°,∠CPP'=60°
∴∠APC=120°
∵∠PCP'=90°,∴∠ACP+∠ACP'=90°
∴∠ABP+∠ACP=90°
又∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°,∠ACB=∠ACP+∠PCB=60°
∴∠PBC+∠PCB=30°,∴∠BPC=150°
∴∠APB=90°,∴AB²=AP²+BP²=4²+(2√3)²=28
∴S△ABC=1/2×AB×√3/2AB=√3/4AB²=√3/4×28=7√3
将三角形ABP绕A逆时针旋转60°,则B转到C,并设P旋转到Q,则易知三角形APQ为等边三角形。
所以PQ=AP=4,QC=PB=2√3,PC=2。可知:PQ²=QC²+PC²,PQ=2PC
所以三角形PQC为直角三角形且∠PQC=30°,所以∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°.
所以AC²=AQ²+QC²=16...
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将三角形ABP绕A逆时针旋转60°,则B转到C,并设P旋转到Q,则易知三角形APQ为等边三角形。
所以PQ=AP=4,QC=PB=2√3,PC=2。可知:PQ²=QC²+PC²,PQ=2PC
所以三角形PQC为直角三角形且∠PQC=30°,所以∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°.
所以AC²=AQ²+QC²=16+12=28,即AC=2√7.
所以三角形ABC的面积为√3÷4×AC²=21.
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