在△ABC中,CD⊥AB于点D 若CD²=AD×DB 求证 △ABC是直角三角形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 12:17:38
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在△ABC中,CD⊥AB于点D 若CD²=AD×DB 求证 △ABC是直角三角形
在△ABC中,CD⊥AB于点D 若CD²=AD×DB 求证 △ABC是直角三角形
在△ABC中,CD⊥AB于点D 若CD²=AD×DB 求证 △ABC是直角三角形
因为CD⊥AB,根据勾股定理,CB2=CD2+BD2 同理,AC2=CD2+AD2
因此,CB2+AC2=2CD2+BD2+AD2 又因为CD²=AD×DB
所以 CB2+AC2=2 AD×DB +BD2+AD2 =(BD+AD)2=AB2
根据勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形,且角C为直角
证毕
注:字母后面的2是平方,字母前面的2是2倍
上式可以转化为 CD/AD=BD/CD
因此 tan∠A=tan∠BCD
所以 ∠A=∠BCD
因为 ∠A+∠ACD=90°
所以 ∠BCD+∠ACD=90°
所以 ∠ACB=90°
证明:∵CD⊥AB∴△ADC和△CDB都是直角三角形,∵CD²=AD×DB即AD:CD=CD:DB
所以,RTACD∽RT△CDB∴∠A=∠DCB ∠ACD=∠B 故2(∠ACD+∠DCB)=180°
所以:∠ACB=90°
所以:三角形ACB是直角三角形。
因为CD²=AD×DB所以有:CD/AD=AD/DB(1)
又因为CD⊥AB所以有 :角CDA=角CDB=90°(2)
三角形CDA为直角三角形
联立(1)(2)得:三角形CDA与三角形CDB相似
即有:∠CAD=∠CDB(3)
在直角三角形CDA中有 ∠CAD+∠ACD=90°(4)
联立(3)(4)等价替换得:∠ABC=∠CAD+∠CD...
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因为CD²=AD×DB所以有:CD/AD=AD/DB(1)
又因为CD⊥AB所以有 :角CDA=角CDB=90°(2)
三角形CDA为直角三角形
联立(1)(2)得:三角形CDA与三角形CDB相似
即有:∠CAD=∠CDB(3)
在直角三角形CDA中有 ∠CAD+∠ACD=90°(4)
联立(3)(4)等价替换得:∠ABC=∠CAD+∠CDB=90°
即 △ABC是直角三角形
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