设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值,(2)证明:f(x)≤2x-2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 15:48:40
![设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值,(2)证明:f(x)≤2x-2](/uploads/image/z/2569347-27-7.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%2Bax%5E2%2Bblnx%2C%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%3Df%28x%29%E8%BF%87P%281%2C0%29%2C%E4%B8%94%E5%9C%A8P%E7%82%B9%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E6%96%9C%E7%8E%87%E4%B8%BA2.%281%29%E6%B1%82a%2Cb%E7%9A%84%E5%80%BC%2C%282%29%E8%AF%81%E6%98%8E%3Af%28x%29%E2%89%A42x-2)
设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值,(2)证明:f(x)≤2x-2
设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值,(2)证明:f(x)≤2x-2
设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值,(2)证明:f(x)≤2x-2
把P代入f(x)可得a=-1.f'(x)=1-2x+b/x 由f(1)=2,解得b=3
所以f(x)=x=x^2+3lnx 构造函数G(x)=f(x)-2x+2=-x^2-x+3lnx+2
则要证明题设,只需证明G(x)在定义域内恒≤0,即Gmax(x)≤0 x定义域为正实数
G'(x)=-2x-1+3/x 令G'(x)=0,得x=-1.5(舍)或1.显然G(1)为最大值.G(1)=0所以对任意定义域内的x都有即G(x)≤0 即 f(x))≤2x-2
(I)∵f(x)=x+ax2+blnx,
∴f′(x)=1+2ax+
bx,
∵y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2,
∴f(1)=1+a=0f′(1)=1+2a+b=2,
解得a=-1,b=3.
(II)f(x)的定义域为(0,+∞),
由(I)知f(x)=x-x2+3lnx,
设g(x)=f(x)-(...
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(I)∵f(x)=x+ax2+blnx,
∴f′(x)=1+2ax+
bx,
∵y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2,
∴f(1)=1+a=0f′(1)=1+2a+b=2,
解得a=-1,b=3.
(II)f(x)的定义域为(0,+∞),
由(I)知f(x)=x-x2+3lnx,
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,
则g′(x)=-1-2x+
3x=-(x-1)(2x+3)x,
当0<x<1时,g(x)′>0;当x>1时,g′(x)<0.
∴g(x)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)单调减少.
∴g(x)max=g(1)=0.
∴g(x)=f(x)-(2x-2)≤0,
∴12f(x)≤x-1.
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