已知a为实数,讨论方程sinx+根号3cosx=a在区间(0,π)内实数解的个数,若方程有两个不同解,求出这两个解的和
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 21:55:54
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已知a为实数,讨论方程sinx+根号3cosx=a在区间(0,π)内实数解的个数,若方程有两个不同解,求出这两个解的和
已知a为实数,讨论方程sinx+根号3cosx=a在区间(0,π)内实数解的个数,若方程有两个不同解,求出这两个解的和
已知a为实数,讨论方程sinx+根号3cosx=a在区间(0,π)内实数解的个数,若方程有两个不同解,求出这两个解的和
sinx+√3cosx=2 (1/2 sinx+√3/2 cosx)=2 (sinx cosπ/3+cosx sinπ/3)=2 sin(x+π/3) ,
而且已知sinx+√3cosx=a,所以sin(x+π/3)=a/2.
x的取值区间(0,π),得x+π/3取值区间(π/3,4π/3),
当x的取值区间为(0,π/6)时,x+π/3在(π/3,π/2]区间,sin(x+π/3)单调递增,范围为(√3/2,1);
当x=π/6时,x+π/3=π/2,sin(x+π/3)=1;
当x的取值区间为(π/6,π/3)时,x+π/3在(π/2,2π/3]区间,sin(x+π/3)单调递减,范围为(√3/2,1);
当x的取值区间为(π/3,π)时,x+π/3在(2π/3,4π/3)区间,sin(x+π/3)单调递减,范围为(-√3/2,√3/2).
因此,
当sin(x+π/3)取值范围为(√3/2,1),方程有两个解,此时a的范围为(√3,2).若两个解为x1、x2,则sin(x1+π/3)=sin(x2+π/3),且x1+π/3=π-(x2+π/3),所以x1+x2=π/3.
当sin(x+π/3)等于1或者取值范围为(-√3/2,√3/2),方程有一个解,此时a的范围为(-√3,√3)并且包括2.