已知实数A,B,C满足A²+B²=1,B²+C²=2,C²+A²=2,则AB+BC+CA的最小值为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:56:05
![已知实数A,B,C满足A²+B²=1,B²+C²=2,C²+A²=2,则AB+BC+CA的最小值为](/uploads/image/z/1979841-57-1.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AE%9E%E6%95%B0A%2CB%2CC%E6%BB%A1%E8%B6%B3A%26sup2%3B%2BB%26sup2%3B%3D1%2CB%26sup2%3B%2BC%26sup2%3B%3D2%2CC%26sup2%3B%2BA%26sup2%3B%3D2%2C%E5%88%99AB%2BBC%2BCA%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B8%BA)
已知实数A,B,C满足A²+B²=1,B²+C²=2,C²+A²=2,则AB+BC+CA的最小值为
已知实数A,B,C满足A²+B²=1,B²+C²=2,C²+A²=2,则AB+BC+CA的最小值为
已知实数A,B,C满足A²+B²=1,B²+C²=2,C²+A²=2,则AB+BC+CA的最小值为
由A²+B²=1,
B²+C²=2,
C²+A²=2,
三式相加:2A²+2B²+2C²=5,
∴A²+B²+C²=5/2
得A²=1/2,B²=1/2,C²=3/2,
∴A=±√2/2,B=±√2/2,C=±√6/2,
设AB+BC+CA=k,2AB+2BC+2CA=2k,
∴A²+B²+C²+2AB+2BC+2CA=5/2+2k,
2k=(A+B+C)²-5/2,
k=(A+B+C)²/2-5/4
a+b+c离0最近
(a+b+c)^2 = (-√(3/2) + √2)² = 7/2 - 2√3
所以k的最小值=(7/2 - 2√3)/2 -5/4
= 1/2 - √3
A²+B²=1
=> (A-B)^2 + 2AB = 1
B²+C²=2
=> (B-C)^2 +2BC = 2
C²+A²=2
=> (C-A)^2 +2AC = 2
max when A=B=C
2AB =1
2BC = 2
2AC = 2
max AB+BC+CA = 1/2 + 1 + 1
= 5/2
由a²+b²=1,
b²+c²=2,
c²+a²=2,
三式相加:2a²+2b²+2c²=5,
∴a²+b²+c²=5/2
得a²=1/2,b²=1/2,c²=3/2,
∴a=±√2/2,b=±√2/2...
全部展开
由a²+b²=1,
b²+c²=2,
c²+a²=2,
三式相加:2a²+2b²+2c²=5,
∴a²+b²+c²=5/2
得a²=1/2,b²=1/2,c²=3/2,
∴a=±√2/2,b=±√2/2,c=±√6/2,
设ab+bc+ca=k,2ab+2bc+2ca=2k,
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=5/2+2k,
2k=(a+b+c)²-5/2,
k=(a+b+c)²/2-5/4
将a=√2/2,b=√2/2,c=√6/2代入:(取得最大值)
k=(√2+√6/2)²/2-5/4
=(2+3/2+2√3)/2-5/4
=(4+3+4√3-5)/4
=1/2+√3为最大值。
收起