已知函数f(x)=sin2x+acosx-1/2a-3/2,x∈R,若f(x)的最大值为1,求实数a的范围.第一个sin2x是sinx的二次方.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 06:40:08
![已知函数f(x)=sin2x+acosx-1/2a-3/2,x∈R,若f(x)的最大值为1,求实数a的范围.第一个sin2x是sinx的二次方.](/uploads/image/z/1699276-4-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dsin2x%2Bacosx-1%2F2a-3%2F2%2Cx%E2%88%88R%2C%E8%8B%A5f%28x%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%B8%BA1%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E8%8C%83%E5%9B%B4.%E7%AC%AC%E4%B8%80%E4%B8%AAsin2x%E6%98%AFsinx%E7%9A%84%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9.)
已知函数f(x)=sin2x+acosx-1/2a-3/2,x∈R,若f(x)的最大值为1,求实数a的范围.第一个sin2x是sinx的二次方.
已知函数f(x)=sin2x+acosx-1/2a-3/2,x∈R,若f(x)的最大值为1,求实数a的范围.第一个sin2x是sinx的二次方.
已知函数f(x)=sin2x+acosx-1/2a-3/2,x∈R,若f(x)的最大值为1,求实数a的范围.第一个sin2x是sinx的二次方.
令t=cosx,(-1≤t≤1),则有
f(t)=-t²+at-a/2-1/2,即为开口向下的抛物线,其对称轴为t=a/2.于是可作如下分类讨论:
①若对称轴在区间[-1,1]之间(含边界),即a/2∈[-1,1],a∈[-2,2];此时函数最大值为
f(a/2)=a²/4-a/2-1/2=1,得,a=1-√7或1+√7(舍).
②若对称轴在区间[-1,1]右侧(不含边界),即a/2∈(1,+∞),a∈(2,+∞);此时函数最大值为
f(1)=a/2-3/2=1,得,a=5.
③若对称轴在区间[-1,1]左侧(不含边界),即a/2∈(-∞,-1),a∈(-∞,-2);此时函数最大值为
f(-1)=-3a/2-3/2=1,得,a=-5/3(舍).
综上,知a值为1-√7或5.
设y=sin^x+acosx-a/2-3/2
=-cos^x+acosx-a/2-1/2
=-(cosx-a/2)+a^/4-a/2-1/2的最大值为f(a),则
f(a)={a^/4-a/2-1/2,-2<=a<=2;
{a/2-3/2,a>2;
{-3a/2-3/2,a<-2.
由a^/4-a/2-1/2=1,得a^-...
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设y=sin^x+acosx-a/2-3/2
=-cos^x+acosx-a/2-1/2
=-(cosx-a/2)+a^/4-a/2-1/2的最大值为f(a),则
f(a)={a^/4-a/2-1/2,-2<=a<=2;
{a/2-3/2,a>2;
{-3a/2-3/2,a<-2.
由a^/4-a/2-1/2=1,得a^-2a-6=0,a=1-√7;
由a/2-3/2=1得a=5;
由-3a/2-3/2=1,-3a=5,a=-5/3(舍)。
综上,a=1-√7,或5.
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