已知a、b是关于x的方程x^2-kx+5(k-5)=0的两个正实数根,且满足2a+b=7,求实数k的值.(运用“韦达定理”)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 01:21:14
![已知a、b是关于x的方程x^2-kx+5(k-5)=0的两个正实数根,且满足2a+b=7,求实数k的值.(运用“韦达定理”)](/uploads/image/z/1587322-10-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%E3%80%81b%E6%98%AF%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8Bx%5E2-kx%2B5%28k-5%29%3D0%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B32a%2Bb%3D7%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0k%E7%9A%84%E5%80%BC.%EF%BC%88%E8%BF%90%E7%94%A8%E2%80%9C%E9%9F%A6%E8%BE%BE%E5%AE%9A%E7%90%86%E2%80%9D%EF%BC%89)
已知a、b是关于x的方程x^2-kx+5(k-5)=0的两个正实数根,且满足2a+b=7,求实数k的值.(运用“韦达定理”)
已知a、b是关于x的方程x^2-kx+5(k-5)=0的两个正实数根,且满足2a+b=7,求实数k的值.(运用“韦达定理”)
已知a、b是关于x的方程x^2-kx+5(k-5)=0的两个正实数根,且满足2a+b=7,求实数k的值.(运用“韦达定理”)
由韦达定理,a+b=k ab=5(k-5)
方程两根a,b均为正,则k>0 5(k-5)>0,解得k>5
2a+b=a+k=7
a=7-k
a是方程的根,满足方程
(7-k)^2-k(7-k)+5(k-5)=0
整理,得
k^2-8k+12=0
(k-2)(k-6)=0
k=2(舍去)或k=6
k=6
先因式分解 成 (x-5)[x-(k-5)]=0 所以一个根为5 另一个根为 k-5 所以2*5+k-5 =7或者
2(k-5 )+5=7 所以k=2或k=6 当k=2时 k-5为负数 所以只能k=6
a+b=k
2a+b=7
两式相减:a=7-k
代入原方程得:(7-k)^2-k(7-k)+5(k-5)=0
k=2 k=6
因为a、b是方程的两个正实数根,所以ab=5(k-5)>0,所以 k>5
因此k=6
①a+b=k ②ab=5(k-5) 又因为2a+b=7 所以b=7-2a 带入①②两方程式中得出 ③ 7-a=k
④ a(7-2a)=5(k-5) 将③④整合可得出方程a^2-6a+5=0 解得a=1或者a=5,因为ab都是正实数,所以a=1,b=5
k=6
韦达定理:a+b=k(1),ab=5(k-5)(2),
因为2a+b=7,所以k+a=7,
推出a=7-k,b=2k-7;代入式(2)
得(7-k)(2k-7)=5(k-5)
解得k=2或6;
又ab>0,所以排除2,所以k=6