是否存在常数C,使得等式1x4+2x7+3x10+.+n(3n+1)=n(n+c)(n+2c+1)对任意正整数n恒成立?请证明结论再问下这种类型的解题思路是什么?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 13:08:37
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是否存在常数C,使得等式1x4+2x7+3x10+.+n(3n+1)=n(n+c)(n+2c+1)对任意正整数n恒成立?请证明结论再问下这种类型的解题思路是什么?
是否存在常数C,使得等式1x4+2x7+3x10+.+n(3n+1)=n(n+c)(n+2c+1)对任意正整数n恒成立?请证明结论
再问下
这种类型的解题思路是什么?
是否存在常数C,使得等式1x4+2x7+3x10+.+n(3n+1)=n(n+c)(n+2c+1)对任意正整数n恒成立?请证明结论再问下这种类型的解题思路是什么?
首先要背这两个:
1+2+3+.+n=(n+1)n/2
1+4+9+...+n^2 = (2n+1)n(n+1)/6 (你可以验证下,证明可以用归纳法)
这题实际上可以把n(3n+1)拆开成3n^2+n
所以可以写成(3*1+1)+(3*4+2)+(3*9+3)+.+3n^2+n
这样再重新调整下顺序即
3×(1+4+9+.+n^2) + (1+2+3+...n)
用最上面我列的两个公式套进来:
3[(2n+1)n(n+1)/6] + (n+1)n/2
=n(n+1)^2
所以你上面那个表达式n(n+c)(n+2c+1),是不可能变成n(n+1)^2 (因为c要等于1了,但n+2c+1就不符合了.
这类题你可以先把
1+2^p+3^p+...+n^p ,p小于等于3的基本公式背住.
附加一句1+8+27+...n^3=(n(n+1))^2/4
然后看到是通项是多项式的话,就把它拆开来,套公式进去.像这里的n(3n+1)就可以拆开成3n^2+n
不存在
不存在,令n=n+1,得式子2 ,用式子2减去式子1,然后比较系数求C,得C不为整数,所以不存在。