急求一道数列题:已知(1+√2)^n=√2 * an+bn (an,bn∈Z,n∈N*)(1)求a5+b5的值(2)试研究数列{bn}各项值的奇偶性.并用数学归纳法证明你的结论(3)求(bn/an)的极限的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 10:50:21
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急求一道数列题:已知(1+√2)^n=√2 * an+bn (an,bn∈Z,n∈N*)(1)求a5+b5的值(2)试研究数列{bn}各项值的奇偶性.并用数学归纳法证明你的结论(3)求(bn/an)的极限的值
急求一道数列题:已知(1+√2)^n=√2 * an+bn (an,bn∈Z,n∈N*)
(1)求a5+b5的值
(2)试研究数列{bn}各项值的奇偶性.并用数学归纳法证明你的结论
(3)求(bn/an)的极限的值
急求一道数列题:已知(1+√2)^n=√2 * an+bn (an,bn∈Z,n∈N*)(1)求a5+b5的值(2)试研究数列{bn}各项值的奇偶性.并用数学归纳法证明你的结论(3)求(bn/an)的极限的值
1)
√2 * a5+b5= (1+√2)^5=C50(√2)^0+C51(√2)^1+C52(√2)^2+C53(√2)^3+C54(√2)^4+C55(√2)^5
=41+29√2
所以a5=29 ,b5=41 ,a5+b5=70
2)证明:用第一问中方法计算得b1=1,b2=5,b3=7,b4=29 ,b5=41 所以{bn}各项值为奇数
假设bn为奇数,bn为二项式中的常数项,当n为偶数时
bn+1=C(n+1)0(√2)^0+C(n+1)2(√2)^2+……+C(n+1)(n)(√2)^(n)=1+C(n+1)2(√2)^2+……+C(n+1)(n)(√2)^(n)
当n为奇数时
bn+1=C(n+1)0(√2)^0+C(n+1)2(√2)^2+……+C(n+1)(n+1)(√2)^(n+1)=1+C(n+1)2(√2)^2+……+C(n+1)(n+1)(√2)^(n+1)
在以上两式中,除第一项为1外,其余各项均含2的倍数,即为偶数,则他们的和为奇数
所以bn+1为奇数,{bn}各项值为奇数
3)bn/an>=b1/a1=1