已知a,b,c满足a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ac,试判断a,b,c之间的关系
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 00:54:55
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已知a,b,c满足a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ac,试判断a,b,c之间的关系
已知a,b,c满足a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ac,试判断a,b,c之间的关系
已知a,b,c满足a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ac,试判断a,b,c之间的关系
a²+b²+c²=ab+ac+bc
a²+b²+c²-ab-ac-bc=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0
﹙a²-2ab+b²﹚+﹙a²-2ac+c²﹚+﹙b²-2bc+c²﹚=0
﹙a-b﹚²+﹙a-c﹚²+﹙b-c﹚²=0
∵ ﹙a-b﹚²≥0,﹙a-c﹚²≥0,﹙b-c﹚²≥0
∴ a-b=0,a=b
a-c=0,a=c
b-c=0,b=c
则有:a=b=c.
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac
(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
所以a-b=0 b-c=0 a-c=0
所以a=b=c
(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
将 a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac代入上式
(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)
=3(a^2+b^2+c^2)
a+b+c=根号3(a^2+b^2+c^2)