若[(√17)+4)]2n+1这个数的整数为A ,小数为B.证明B(A+B)=1,其中2n+1是指数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:19:19
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若[(√17)+4)]2n+1这个数的整数为A ,小数为B.证明B(A+B)=1,其中2n+1是指数
若[(√17)+4)]2n+1这个数的整数为A ,小数为B.证明B(A+B)=1,其中2n+1是指数
若[(√17)+4)]2n+1这个数的整数为A ,小数为B.证明B(A+B)=1,其中2n+1是指数
∵(√17+4)^(2n+1)-(√17-4)^(2n+1)
=C(1,2n+1)17^n*4+C(3,2n+1)17^(n-1)4^3+C(5,2n+1)17^(n-2)4^5+...+C(2n+1,2n+1)4^(2n+1)
这个数是正整数
∵0<(√17-4)^(2n+1)<1
∴B=(√17-4)^(2n+1)
∴B(A+m)=(√17-4)^(2n+1)(√17+4)^(2n+1)=(17-16)^(2n+1)=1
设该数为X,则X=A+B,证明B(A+B)=1即变为证明X-A=1/X,
由于[(√17)+4]的倒数即为[(√17)-4],所以加上指数2n+1后同样变为1/X=[(√17)-4]^(2n+1)
带入整理后有[(√17+4)^(2n+1)] - [(√17-4)^(2n+1)]=A
对于多次二项式的展开形式,带有√17的奇数次项全部都是小数(无理数)
上式[(√1...
全部展开
设该数为X,则X=A+B,证明B(A+B)=1即变为证明X-A=1/X,
由于[(√17)+4]的倒数即为[(√17)-4],所以加上指数2n+1后同样变为1/X=[(√17)-4]^(2n+1)
带入整理后有[(√17+4)^(2n+1)] - [(√17-4)^(2n+1)]=A
对于多次二项式的展开形式,带有√17的奇数次项全部都是小数(无理数)
上式[(√17+4)^(2n+1)] 和 [(√17-4)^(2n+1)]两项展开后相减结果为整数(带有√17的项都相同,而不带√17的符号相反)
又由于一个大于一的正小数[(√17+4)^(2n+1)] 减去一个不大于1的正小数[(√17-4)^(2n+1)]=如果结果为整数,则说明所得整数即为其整数部分
故原题得证
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